Cet article porte sur les représentations du nombre e, importante constante mathématique.
Elle peut être obtenue de différentes manières en tant que nombre réel. Puisque e est un nombre irrationnel, il ne peut être représenté par une fraction ordinaire, mais peut l'être par une fraction continue. En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal, e peut aussi être obtenu comme sommes de séries, comme produits infinis et comme limites de suites.
Comme fractions continues
Contrairement au nombre , le développement du nombre e en fraction continue simple possède une certaine régularité :
La constante e est aussi égale à la somme de ces séries[1] :
où Bn est le n-ième nombre de Bell.
Comme produits infinis
La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Catalan (1875)[2] :
le produit de Pippenger (voir la suite A084148 de l'OEIS et la suite A084149 de l'OEIS)
et le produit de Guillera[3] :
où le n-ième facteur est la racine n-ième du produit
Il y a aussi le produit infini :
ainsi que :
où est définie par , suite A007526 ; la formule vient du fait que .
Comme limites de suites
La constante e est égale à plusieurs limites de suites dont la plus connue est :
.
La formule de Stirling permet d'obtenir :
.
La limite symétrique[4] :
peut être obtenue en manipulant la première limite ci-dessus.
Une autre limite est[5] :
où est le n-ième nombre premier et est sa primorielle.
L'élégante expression :
où est la sous-factorielle de n, est en fait une autre écriture de l'égalité .
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of representations of e » (voir la liste des auteurs).
↑Pour les séries 2 à 7, voir (en) Harlan J. Brothers (en), « Improving the convergence of Newton's series approximation for e », College Mathematics Journal (en), vol. 35, no 1, , p. 34-39 (lire en ligne).
↑(en) Jonathan Sondow, « A Faster Product for π and a New Integral for ln π/2 », Amer. Math. Monthly, vol. 112, , p. 729-734 (lire en ligne).
↑(en) Harlan J. Brothers et John A. Knox (en), « New Closed-Form Approximations to the Logarithmic Constant e », The Mathematical Intelligencer, vol. 20, no 4, , p. 25-29 (lire en ligne).
↑(en) Sebastián Martín Ruiz, « A Result on Prime Numbers », Math. Gaz., vol. 81, , p. 269-270.