Fonction sinus hyperbolique
Valeurs particulières Valeur en zéro 0
Limite en +∞ + ∞ {\displaystyle +\infty } Limite en −∞ − ∞ {\displaystyle -\infty }
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Le sinus hyperbolique est, en mathématiques , une fonction hyperbolique.
Définition Sinus hyperbolique dans le plan complexe La fonction sinus hyperbolique, notée sinh {\displaystyle \sinh } (ou sh {\displaystyle \operatorname {sh} } )[ 1] est la fonction complexe suivante :
sinh : z ↦ e z − e − z 2 {\displaystyle \sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}} où z ↦ e z {\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{z}} est l'exponentielle complexe.
La fonction sinus hyperbolique est la partie impaire de l'exponentielle complexe.
Dans la géométrie hyperbolique , la fonction sinus hyperbolique est un analogue de la fonction sinus de la géométrie euclidienne .
Propriétés
Propriétés générales sinh {\displaystyle \sinh } est continue et même holomorphe donc infiniment dérivable . Sa dérivée est la fonction cosinus hyperbolique notée cosh {\displaystyle \cosh } . sinh {\displaystyle \sinh } est impaire . Les primitives de sinh {\displaystyle \sinh } sont cosh + C {\displaystyle \cosh +C} , où C {\displaystyle C} est une constante d'intégration. La restriction de sinh {\displaystyle \sinh } à ℝ est strictement croissante , concave sur ] − ∞ , 0 [ {\displaystyle \left]-\infty ,0\right[} et convexe sur ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle \left]0,+\infty \right[} .
Propriétés trigonométriques Des définitions des fonctions sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :
e z = cosh z + sinh z {\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z} e − z = cosh z − sinh z {\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z} Ces égalités sont analogues aux formules d'Euler en trigonométrie classique.
De même que les coordonnées ( cos t , sin t ) {\displaystyle (\cos t,\sin t)} définissent un cercle , ( cosh t , sinh t ) {\displaystyle (\cosh t,\sinh t)} définissent la branche positive d'une hyperbole équilatère . On a en effet pour tout t {\displaystyle t} :
cosh 2 t − sinh 2 t = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1} . D'autre part, pour x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } :
sinh ( i x ) = e i x − e − i x 2 = i sin ( x ) {\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)} , d'où sinh ( x ) = − i sin ( i x ) {\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)} ; sinh ( x + y ) = sinh ( x ) cosh ( y ) + cosh ( x ) sinh ( y ) {\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)} , d'où sinh x = 2 sinh ( x 2 ) cosh ( x 2 ) {\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)} ; sinh x = x ∏ n = 1 ∞ cosh ( x / 2 n ) {\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}} (obtenu en itérant la formule précédente) ; sinh 2 ( x 2 ) = cosh ( x ) − 1 2 {\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}} . L'utilisation de formules trigonométriques telles que tan ( 2 t ) = 2 tan t 1 − tan 2 t {\displaystyle \tan(2t)={\frac {2\tan t}{1-\tan ^{2}t}}} permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel x {\displaystyle x} non nul) :
sinh ( x ) = − 1 tan ( 2 arctan ( e x ) ) {\displaystyle \sinh(x)={\frac {-1}{\tan \left(2\arctan \left(\mathrm {e} ^{x}\right)\right)}}} ; voir également l'article Gudermannien .
Développement en série de Taylor La série de Taylor en 0 de la fonction sinh {\displaystyle \sinh } converge sur ℂ tout entier et est donnée par :
sinh z = z + z 3 3 ! + z 5 5 ! + ⋯ = ∑ n = 0 + ∞ z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\dots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}} .
Valeurs Quelques valeurs de sinh {\displaystyle \sinh } :
sinh ( 0 ) = 0 {\displaystyle \sinh(0)=0} ; sinh ( 1 ) = e 2 − 1 2 e {\displaystyle \sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} }}} ; sinh ( i ) = i sin ( 1 ) {\displaystyle \sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)} .
Zéros Tous les zéros de sinh {\displaystyle \sinh } sont des imaginaires purs : ∀ z ∈ C sinh ( z ) = 0 ⇔ z ∈ i π Z {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad \sinh(z)=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \pi \mathbb {Z} } .
Fonction réciproque Graphe de la fonction argument sinus hyperbolique sur une partie de ℝ. sinh {\displaystyle \sinh } admet une fonction réciproque , notée arsinh {\displaystyle \operatorname {arsinh} } (ou argsinh {\displaystyle \operatorname {argsinh} } ou argsh {\displaystyle \operatorname {argsh} } ou parfois s i n h - 1 {\displaystyle \operatorname {sinh^{-1}} } )[ 2] , et nommée argument sinus hyperbolique . Il s'agit d'une fonction multiforme complexe. Sa branche principale est généralement[ 3] choisie en posant comme coupure les demi-droites ] − ∞ i , − i ] {\displaystyle \left]-\infty \mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right]} et [ i , + ∞ i [ {\displaystyle \left[\mathrm {i} ,+\infty \mathrm {i} \right[} :
arsinh ( z ) = log ( z + 1 + z 2 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)=\log \left(z+{\sqrt {1+z^{2}}}\right)} , où log {\displaystyle \log } et {\displaystyle {\sqrt {~}}} sont les déterminations principales du logarithme complexe de la racine carrée complexe . En effet, si sinh Z = z {\displaystyle \sinh Z=z} alors cosh 2 Z = 1 + z 2 {\displaystyle \cosh ^{2}Z=1+z^{2}} , or e Z = sinh Z + cosh Z {\displaystyle \mathrm {e} ^{Z}=\sinh Z+\cosh Z} .
La restriction-corestriction de sinh de ℝ dans ℝ admet donc pour réciproque : arsinh ( x ) = ln ( x + 1 + x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)} .
Cette branche principale est holomorphe sur le disque unité | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} et y admet le développement en série entière :
a r s i n h ( z ) = z + ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n 1.3.5 … ( 2 n − 1 ) 2.4.6 … ( 2 n ) . ( 2 n + 1 ) z 2 n + 1 {\displaystyle {\rm {arsinh}}(z)=z+\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {1.3.5\dots (2n-1)}{2.4.6\dots (2n).(2n+1)}}z^{2n+1}} .
Voir aussi Sur les autres projets Wikimedia :
la fonction sinus hyperbolique, sur Wikimedia Commons la fonction argsinus hyperbolique, sur Wikimedia Commons
Références ↑ La norme internationale ISO/CEI 80000-2 :2009 recommande sinh. ↑ La norme internationale ISO/CEI 80000-2 :2009 recommande arsinh. ↑ (en) W. Kahan , « Branch cuts for complex elementary functions or Much ado about nothing's sign bit » , dans A. Iserles et M. J. D. Powell , The State of the Art in Numerical Analysis , Clarendon Press, 1987 (lire en ligne) , p. 165-210 . Portail de l'analyse