Suite de Robinson

La suite de Robinson^{[Lequel ?][réf. nécessaire]} est une suite mathématique, une modification de la suite de Conway. Dans cette suite, un terme se détermine en comptant combien de fois chaque chiffre apparaît dans le terme précédent.

Le premier terme de la suite de Robinson est posé comme égal à 0. Chaque terme de la suite se construit ensuite en comptant le nombre d'apparitions des différents chiffres de 9 à 0 (dans cet ordre) dans le terme précédent. Si un chiffre n'apparaît pas, il n'est pas pris en compte.

Concrètement :

${\displaystyle X_{0}=0}$

Ce terme comporte juste un « 0 ». Par conséquent, le terme suivant est :

${\displaystyle X_{1}=10}$

Celui-ci est composé d'un « 1 » et d'un « 0 » :

${\displaystyle X_{2}=1110}$

En poursuivant le procédé :

${\displaystyle X_{3}=3110}$

${\displaystyle X_{4}=132110}$

${\displaystyle X_{5}=13123110}$

${\displaystyle X_{6}=23124110}$

${\displaystyle X_{7}=1413223110}$

${\displaystyle X_{8}=1423224110}$

${\displaystyle X_{9}=2413323110}$

${\displaystyle X_{10}=1433223110}$

${\displaystyle X_{11}=1433223110.}$

La suite^[1] stationne donc à la valeur ${\displaystyle X_{10}.}$

On constate qu'à partir du 11^e terme de la suite, tous les termes sont égaux à ${\displaystyle 1433223110}$. Si le terme initial est choisi entre 1 et 39, la suite atteint également une valeur constante au bout d'un certain nombre de termes. Si ${\displaystyle X_{0}=40}$, au bout du 10^e terme, la suite oscille entre les valeurs ${\displaystyle 152423224110}$ et ${\displaystyle 152413423110}$. Pour ${\displaystyle X_{0}=50}$, la suite finit par osciller entre les valeurs ${\displaystyle 16251423225110}$, ${\displaystyle 16251413424110}$ et ${\displaystyle 16153413225110}$.

Il a été montré^[2] qu'à partir de toute valeur initiale, la suite finit soit par être constante, soit par osciller entre deux ou trois valeurs.

• (en) Hervé Lehning, « Computer-aided or analytic proof? », College Mathematics Journal, vol. 21, n^o 3,‎ 1990, p. 228-239 (DOI 10.1080/07468342.1990.11973313).
• (en) Jim Sauerberg et Linghsueh Shu, « The Long and the Short on Counting Sequences », The American Mathematical Monthly, vol. 104, n^o 4,‎ 1997, p. 306-317 (DOI 10.1080/00029890.1997.11990642, JSTOR 2974579, lire en ligne).

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