Tenseur antisymétrique

En mathématiques et physique théorique, un tenseur est antisymétrique pour les indices i et j si son signe est interchangé lorsqu'on inverse 2 indices :

T i j k … = − T j i k … {\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }}

Un tenseur antisymétrique est un tenseur possédant 2 indices pour lesquels il est antisymétrique. Si un tenseur change de signe dès que 2 indices quelconques sont inversés, alors ce tenseur est dit complètement antisymétrique et est aussi nommé forme différentielle.

Un tenseur A qui est antisymétrique pour les indices i et j possède la propriété que sa contraction avec un tenseur B, symétrique pour les indices i et j, est identiquement nulle.

Pour un tenseur quelconque U avec comme composants U i j k … {\displaystyle U_{ijk\dots }} avec une paire d'indice i et j, U possède une partie symétrique et antisymétrique définies par :

U ( i j ) k … = 1 2 ( U i j k … + U j i k … ) {\displaystyle U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })} (partie symétrique)
U [ i j ] k … = 1 2 ( U i j k … − U j i k … ) {\displaystyle U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })} (partie antisymétrique)

Des conditions similaires peuvent être données pour d'autres paires d'indices. Le terme « partie » suggère qu'un tenseur est la somme de ses parties symétrique et antisymétrique pour une paire d'indices donnée, comme dans U i j k … = U ( i j ) k … + U [ i j ] k … {\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }}

Un tenseur antisymétrique particulièrement important en physique est le tenseur de Faraday F en électromagnétisme.

Voir aussi

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