Théorème de Gerschgorin

En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semion Gerschgorin^{[1],[Note 1]}. Ce résultat est notamment utilisé dans le cas particulier des matrices stochastiques.

Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (a_ij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant

${\displaystyle D_{i}=\left\{z\in \mathbb {C} ,|a_{ii}-z|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\right\}=D(a_{ii},R_{i})~,}$

qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon R_i = Σ_{j ≠ i} | a_ij |.

En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes

${\displaystyle {\tilde {D}}_{j}=\left\{z\in \mathbb {C} ,|a_{jj}-z|\leq \sum _{i\neq j}|a_{ij}|\right\}=D(a_{jj},{\tilde {R}}_{j})~.}$

Soient λ une valeur propre de A et X = (x₁, ..., x_n) un vecteur propre associé (noté comme vecteur colonne). Pour tout i compris entre 1 et n, on a

${\displaystyle (AX)_{i}=(\lambda X)_{i}}$

d'où

${\displaystyle (\lambda -a_{ii})x_{i}=\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}$

Choisissons un indice i pour lequel le module de x_i est maximal. Puisque X est un vecteur propre, |x_i| est non nul et il est alors possible de former le quotient

${\displaystyle |a_{ii}-\lambda |=\left|\sum _{j\neq i}a_{ij}{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}\left|a_{ij}{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|}$

Une autre démonstration consiste à remarquer que 0 est valeur propre de ${\displaystyle A-\lambda I_{n}}$ et d'utiliser le lemme de Hadamard.

Ovale de Cassini

• Patrick Lascaux et Raymond Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur, t. 1 : Méthodes directes [détail des éditions]
• (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, 2004, 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), errata

• (en) Eric W. Weisstein, « Gershgorin Circle Theorem », sur MathWorld
• Localisation des valeurs propres : les disques de Gerschgorin, quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin.

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