Théorème de Gerschgorin
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Gershgorin_Disk_Theorem_Example.svg/220px-Gershgorin_Disk_Theorem_Example.svg.png)
En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semion Gerschgorin[1],[Note 1]. Ce résultat est notamment utilisé dans le cas particulier des matrices stochastiques.
Énoncé
Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (aij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant
qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon Ri = Σj ≠ i | aij |.
Théorème — Toute valeur propre de A appartient au moins à l'un des disques de Gerschgorin.
En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes
Démonstration
Soient λ une valeur propre de A et X = (x1, ..., xn) un vecteur propre associé (noté comme vecteur colonne). Pour tout i compris entre 1 et n, on a
d'où
Choisissons un indice i pour lequel le module de xi est maximal. Puisque X est un vecteur propre, |xi| est non nul et il est alors possible de former le quotient
Une autre démonstration consiste à remarquer que 0 est valeur propre de et d'utiliser le lemme de Hadamard.
Notes et références
Notes
- ↑ Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Geršgorin, Gerschgorin ou encore Guerchgorine.
Références
- ↑ (de) S. Gerschgorin, « Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix », Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 1931, p. 749-754.
Voir aussi
Article connexe
Ovale de Cassini
Bibliographie
- Patrick Lascaux et Raymond Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur, t. 1 : Méthodes directes [détail des éditions]
- (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, , 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), errata
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, « Gershgorin Circle Theorem », sur MathWorld
- Localisation des valeurs propres : les disques de Gerschgorin, quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin.
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