Théorème du collage
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En mathématiques le théorème du collage établit l'existence d'une technique constructive d'approximations de tout ensemble compact de points dans l'espace euclidien (tel qu'une image) par l'attracteur d'un système de fonctions itérées, à tout degré de précision souhaité.
En termes simples, il prouve qu'on peut recouvrir toute forme compacte de l'espace par des copies d'elle-même[1].
Ce théorème, utilisé en compression fractale, a été démontré en 1985 par Michael Barnsley[2].
Le théorème
Soit X un espace métrique complet. Soit l'ensemble des parties compactes non vides de . On munit d'une structure d'espace métrique complet avec , la distance de Hausdorff sur [3],[4]. Soit l'ensemble à approcher, et soit . Alors il existe une famille de contractions (IFS) sur , avec rapport de contraction , telle que :
- .
Et l'on a
où est l'attracteur de l'IFS.
Remarques
- La dernière inégalité découle immédiatement de l'inégalité
valable pour tout et tout IFS sur , d'attracteur et de rapport de contraction [5].
- Le théorème du collage apparaît, mise à part l'existence de l'IFS[6], qui est liée à la précompacité de , comme un cas particulier du théorème du point fixe de Banach.
- Son intérêt repose sur ses applications[7].
- Le livre[4] de Jean Dieudonné utilisé en référence dans l'énoncé du théorème possède un avant-propos de Gaston Julia, ce qui établit une filiation remarquable entre toutes les idées.
Exemples
- Voici dans le cadre ci-dessus une famille de 4 contractions affines inspirées par une feuille d'arbre dont on aura dessiné le contour et colorié l'intérieur sur une feuille de papier, dessin qui jouera le rôle de . On a fait en sorte que soit assez petite et que s soit de l'ordre de 0,5. On obtient l'attracteur à droite. Cet exemple permet de comprendre ce que l'on appelle le problème inverse, qui est la recherche de méthodes automatiques pour obtenir un ifs qui approche une image donnée[8].
- C'est le principe de construction d'un arbre fractal[9], ou d'un nuage fractal[10], qui est une variation du rectangle.
Ces quelques objets, parfaitement définis mathématiquement, donnent une petite idée des motivations qui ont pu animer depuis les années 1980 des mathématiciens[11].
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Collage theorem » (voir la liste des auteurs).
- ↑ « À la découverte d’une méthode de fabrication d’images fractales. »
- ↑ M. F. Barnsley, S. Demko, "Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals," The Proceedings of the Royal Society of London A 399, p. 243-275 (1985)
- ↑ « Construction de fractales par la méthode des IFS, p.27 »
- ↑ a et b Jean Dieudonné, Éléments d'analyse 1, gauthier-villars, (ISBN 978-2-04-010410-8 et 2-04-010410-0), problème 3, p.61
- ↑ (en) Barnsley, M. F. (Michael Fielding), 1946-, Fractals everywhere, Academic Press Professional, (ISBN 0-12-079069-6, OCLC 28025975, lire en ligne), p.94, p. 98
- ↑ « systeme de fonctions iterees, p.21 »
- ↑ (en) « Expository Paper of Sandra S. Snyder », sur scimath.unl.edu (version du sur Internet Archive)
- ↑ (en) « A review of the fractal image compression literature », sur Universitat Freiburg
- ↑ « Arbre fractal », sur mathcurve de robert ferreol
- ↑ (en) collectif, The science of fractal images, springer-verlag, (ISBN 0-387-96608-0), p.236-237
- ↑ (en) Peitgen, Heinz-Otto, 1945-, The beauty of fractals : images of complex dynamical systems, Springer-Verlag, (ISBN 3-540-15851-0, OCLC 13331323, lire en ligne), PREFACE
Liens externes
- (en) Une description interactive sur cut-the-knot
- (en) Description par Sandra S. Snyder
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