Théorie probabiliste des nombres
En mathématiques, la théorie probabiliste des nombres est un sous-domaine de la théorie des nombres, qui utilise explicitement les probabilités pour répondre aux questions de la théorie des nombres. On peut également la concevoir comme étant l'étude asymptotique de l'espace probabilisé muni de la loi uniforme. Ainsi, se donner une fonction arithmétique équivaut, dans ce contexte, à celle d'une suite de variables aléatoires prenant les valeurs , , avec probabilité [1].
Les fondateurs de cette théorie sont Paul Erdős, Aurel Wintner et Mark Kac dans les années 1930, une des périodes d'investigation de la théorie analytique des nombres. Le théorème de Hardy-Ramanujan[2] (1917) est considéré comme le premier résultat de la théorie probabiliste des nombres, énonçant le fait incroyable que l'ordre normal du nombre de facteurs premiers distincts d'un entier naturel est . Autrement dit, "la plupart des entiers" ont facteurs premiers distincts.
Ce résultat fut généralisé plus tard par le théorème de Erdős-Kac[3] (1940), affirmant que le nombre de facteurs premiers distincts d'un entier naturel pour tend vers une loi normale de moyenne et de variance lorsque tend vers [4].
Il est également important de mentionner le théorème d'Erdős-Wintner (1939) qui joue un rôle assez important dans cette théorie, ce dernier caractérisant les fonctions additives réelles possédant une loi limite.
Voir également
- théorie analytique des nombres
- domaine des mathématiques
- liste des sujets de théorie des nombres
- liste des sujets de probabilités
- méthode probabiliste
- nombre premier probable
Références
- ↑ Tenenbaum, Gérald, 1952-..., Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Paris, Belin, dl 2015, 592 p. (ISBN 978-2-7011-9656-5 et 2-7011-9656-6, OCLC 933777932, lire en ligne)
- ↑ (en) G. Hardy et S. Ramanujan, « The normal number of prime factors of a number n », Quarterly Journal of Mathematics, vol. 48, , p. 76–92 (lire en ligne)
- ↑ (en) P. Erdös et M. Kac, « On the Gaussian law of errors in the theory of additive number theoretic functions », Amer. J. Math., vol. 62, , p. 738–742 (lire en ligne)
- ↑ J. MATHIEU, « Théorie probabiliste des nombres : les théorèmes fondateurs », (consulté le )
Bibliographie
- J. Kubilius, Probabilistic methods in the theory of numbers, vol. 11, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Translations of mathematical monographs », (1re éd. 1962) (ISBN 0-8218-1561-X, zbMATH 0133.30203)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Probabilistic number theory » (voir la liste des auteurs).
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