Transition d'Anderson

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La transition d'Anderson, du nom de Philip Warren Anderson, est une transition de phase quantique à température nulle dans un solide désordonné entre une phase métallique où les électrons sont diffusifs et une phase isolante où ils sont localisés^[1]. Elle peut être obtenue en faisant varier l'énergie de Fermi ${\displaystyle E_{F}}$au travers du seuil de mobilité${\displaystyle E_{c}}$ qui sépare les états diffusifs des états localisés (qui décroissent exponentiellement à l'infini) ou en variant l'intensité du désordre (ce qui revient à déplacer le seuil de mobilité.

La dimension critique inférieure de cette transition est deux en l'absence de couplage spin-orbite^[1]: en dessous ce cette dimension, seule la phase isolante existe. En présence de couplage spin-orbite, il existe une transition d'Anderson en deux dimensions^[1].

La densité d'états électroniques ne présente pas d'anomalie à la transition, alors que la conductivité s'annule comme ${\displaystyle \sigma (E_{F})=(E_{F}-E_{c})^{s}}$. Dans la phase localisée, la longueur de localisation diverge au voisinage de la transition comme ${\displaystyle \xi (E_{F})=(E_{c}-E_{F})^{-\nu }}$.

Les modèles décrivant la transition d'Anderson sont des équations de Schrödinger d'électrons sans interaction en présence d'un potentiel aléatoire. Dans le cas continu, ils s'écrivent

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ({\vec {r}})\nabla ^{2}+V({\vec {r}})\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})}$

avec

${\displaystyle {\overline {V({\vec {r}})V({\vec {r}}^{\prime })}}=D\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime })}$ dans le cas d'un désordre gaussien ou ${\displaystyle V({\vec {r}})=\sum _{j}v({\vec {r}}-{\vec {r}}_{j})}$où ${\displaystyle v({\vec {r}}-{\vec {r}}_{j})}$est le potentiel créé par l'impureté localisée en ${\displaystyle {\vec {r}}_{j}}$et la position des impuretés est distribuée de façon uniforme avec une concentration ${\displaystyle c}$, dans le cas d'un désordre poissonien. Pour ${\displaystyle 0<E<E_{c}}$, le spectre est ponctuel, donnant les états localisés avec ${\displaystyle |\psi ({\vec {r}})|^{2}<Ce^{-||{\vec {r}}||/\xi (E)}}$, pour ${\displaystyle E>E_{c}}$, le spectre est continu donnant les états diffusifs.

Dans le cas d'un système sur réseau (le cas analysé par Anderson en 1958), l'équation de Schrödinger devient une équation aux liaisons fortes

${\displaystyle \sum _{k}-t_{jk}\psi _{k}=(E-\epsilon _{j})\psi _{j}}$

avec les potentiels sur site ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ des variables aléatoires uniformes et identiquement distribuées. Les ${\displaystyle t_{jk}}$peuvent être également des variables aléatoires, mais on peut aussi prendre ${\displaystyle t_{jk}=t}$ pour les sites ${\displaystyle j,k}$ premiers voisins, et zéro sinon (ce qui donne le laplacien discret). Le spectre est borné, c'est-à-dire que l'équation aux liaisons fortes n'a de solution non-nulle que si ${\displaystyle E_{1}<E<E_{2}}$. Il existe deux seuils de mobilités:

pour ${\displaystyle E_{1}<E<E_{c1}}$et pour ${\displaystyle E_{c2}<E<E_{2}}$ les états sont localisés et pour ${\displaystyle E_{c1}<E<E_{c2}}$ils sont diffusifs. Autrement dit, les états situés en bord de bandes sont les plus faciles à localiser. Quand la distribution des ${\displaystyle \epsilon _{j}}$s'élargit, les seuils de mobilités se rapprochent, et pour une largeur critique de la distribution des potentiels sur site il n'existe plus que des états localisés.

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