Variation quadratique
En mathématiques, la variation quadratique est utilisée dans l'analyse des processus stochastiques, comme le mouvement brownien et autres martingales[1]. La variation quadratique est un type de variation d'un processus.
Définition
Pour un processus quelconque
Si est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé et avec un indice de temps qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté , défini par :
- ,
où parcourt les subdivisions de l'intervalle et la norme de la subdivision est son pas. Cette limite, si elle existe, est définie à l'aide de la convergence en probabilité. Un processus peut avoir une variation quadratique finie au sens de la définition ci-dessus, tout en ayant ses parcours presque sûrement de variation quadratique infinie pour tous les , au sens classique où l'on prend la borne supérieure de la somme sur toutes les subdivisions ; c'est notamment le cas du mouvement brownien[2].
Plus généralement, la covariation de deux processus et est :
- .
Pour une martingale
Avec les mêmes hypothèses, si est de plus une martingale, alors est une sous-martingale (d'après l'inégalité de Jensen conditionnelle). Par décomposition de Doob-Meyer on peut donc écrire de façon unique comme la somme d'une martingale et d'un processus prévisible croissant . Une définition alternative possible de la variation quadratique (de la martingale ) est alors :
- .
Autrement dit, la variation quadratique de est le seul processus prévisible croissant tel que soit une martingale. On peut montrer[3] que ces deux définitions sont bien sûr équivalentes quand est une martingale.
Exemples
La variation quadratique d'un mouvement brownien standard est:
Notes et références
- ↑ (en) Rajeeva L. Karandikar et B. V. Rao, « On quadratic variation of martingales », Proceedings - Mathematical Sciences (en), vol. 124, no 3, , p. 457-469 (DOI 10.1007/s12044-014-0179-2).
- ↑ (en) Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, , 2e éd. (présentation en ligne).
- ↑ (en) Ioannis Karatzas et Steven Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, coll. « graduate texts in mathematics », , XXIII, 470 (ISBN 978-0-387-97655-6, DOI 10.1007/978-1-4612-0949-2, lire en ligne), theorem 5.8 (page 32)
Voir aussi
Variation totale
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