Érintőnégyszög
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/%C3%89rint%C5%91n%C3%A9gysz%C3%B6g_%28sz%C3%ADnes%29.svg/250px-%C3%89rint%C5%91n%C3%A9gysz%C3%B6g_%28sz%C3%ADnes%29.svg.png)
Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre). Az érintősokszög speciális esete.
Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.
Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.
Az érintőnégyszög területe , ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: .
Szögfelezők
Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.
Érintőnégyszög-tétel
Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő: , ahol a félkerület.
Következmény
A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy . Ebből és a Bretschneider-formulából
- ,
ahol és az átlók hossza.
A tétel megfordítása
Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.[1]
A tétel bizonyítása
A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis és .
A tétel megfordításának bizonyítása
Indirekt bizonyítjuk:
Tegyük fel, hogy fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen a leghosszabb oldal, ekkor és összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal ( és ), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint hosszabb a másik két oldalnál. Az oldal és a illetve oldal felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy kört. Tegyük fel, hogy nem érinti -t.
Ekkor két eset van:
1) metszi -t
vagy
2) -nek és -nak nincsen közös pontja
Mozgassuk el egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse -t. Ekkor érintőnégyszög mindkét esetben.
1)-nél , de ekkor nem lenne igaz a feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.
2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel .
Átlók beírt körei
Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül .[2]
Források
![Commons:Category:Tangential quadrilaterals](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/50px-Commons-logo.svg.png)
- Chao, Wu Wei & Simeonov, Plamen (2000), "When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)", American Mathematical Monthly 107 (7): 657–658, DOI 10.2307/2589133.
- Weisstein, Eric W., "Tangential Quadrilateral", MathWorld
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap