Bernoulli-teszt
A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Bernoulli-teszt egy kísérlet, melynek kimenetele véletlenszerű, és két lehetséges kimenetele van: a siker és a kudarc.
A Bernoulli-teszt matematikai megfogalmazása a Bernoulli-processz. A gyakorlatban ez egy egyszeri kísérlet, melynek két lehetséges kimenetele lehet.
Az események megválaszolhatók „igen” vagy „nem” válasszal.
Például:
- a feldobott érme fejjel felfelé esik le a földre?
- az újszülött gyermek lány lesz?
Az érme esetében a siker a „fej”, kudarc az „írás”. Egy szabályos érme esetén a valószínűség 50%.[1]
Egy kockadobásnál a siker például a “hatos”, és minden más ‘kudarc’.
Definíció
Egy kísérlet egymástól függetlenül ismételt tesztjeinek eredményét Bernoulli-tesztnek nevezik. Nevezzük a teszt egyik eredményét ‘siker’nek, a másikat “kudarc”nak. Legyen a Bernoulli-teszt sikeres kimenetelének a valószínűsége. Ekkor a kudarc () valószínűsége:
- .
A Bernoulli-teszt valószínűségi változóit - konvenció szerint – a következőképpen jelölik: 1=”siker” 0=”kudarc” A Bernoulli-teszthez szorosan kapcsolódik a binomiális-kísérlet, mely egy rögzített számú (), statisztikailag egymástól független Bernoulli-tesztet tartalmaz, mindegyiknél a siker valószínűsége , és számolják a ‘siker’ek számát. Ha egy valószínűségi változó a binomiálisnak felel meg, jelölése , binomiális eloszlás szerint változik.
A kísérletnél a siker valószínűsége:
- .
A Bernoulii-teszt elvezethet a negatív binomiális eloszláshoz (ahol a sikerek számát egymásutáni Bernoulli-tesztek során számolják, egy meghatározott számú kudarcig), hasonlóan más eloszlásokéhoz.
Ha többszörös Bernoulli-tesztet végzünk, mind a saját ‘siker’ valószínűségével, akkor ezt néha Poisson-tesztnek is hívják.[2]
Példa: pénzfeldobás
Tekintsünk egy egyszerű kísérletet, ahol egy szabályos érmét négyszer dobunk fel.
Számoljuk ki azt a valószínűséget, amikor a négy dobásból pontosan kettő lesz fej.
Megoldás
A kísérletünkben legyen a fej a „siker”, és az írás a „kudarc”. Mivel feltételeztük, hogy az érme szabályos és a feldobáskor is váltogatjuk a pozícióját,[1] a „siker” valószínűsége . Így a ‘kudarc’ valószínűsége:
- .
A fenti egyenlőségeket használva, annak a valószínűsége, hogy négy dobásból kettő pontosan fej lesz:
- .
Jegyzetek
- ↑ a b Pénzfeldobásnál az ujjak technikájával a valószínűség akár ±10%-kal is befolyásolható. Még akaratlanul is nagy átlagban 50,1% annak az esélye, hogy az eredmény fej lesz, ha a feldobáskor is az volt felül. (Nem igaz, hogy az érmefeldobásnál pontosan 50 százalék esély van a fejre és az írásra. Telex.hu, 2023. október 18.)
- ↑ Rajeev Motwani and P. Raghavan. Randomized Algorithms. Cambridge University Press, New York (NY), 1995, p.67-68
Források
- Weisstein, Eric W.: Bernoulli Trial (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Rajeev Motwani and P. Raghavan: Randomized Algorithms. (hely nélkül): Cambridge University Press, NY. 1995. 67–68. o.
Kapcsolódó szócikkek
- Skálaparaméter
- Alakparaméter
- Sűrűségfüggvény
- Bernoulli-eloszlás
- Binomiális eloszlás
- Eloszlásfüggvény
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
- Matematikai statisztika
- Poisson-féle mintavétel
- Mintavétel tervezés
- Bernoulli-féle mintavétel
- Bernoulli-séma
- Jacob Bernoulli
- Poisson-teszt
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap