Biszférikus koordináta-rendszer

A biszférikus koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a két fókuszt összekötő egyenes körüli forgatással. Ezzel a bipoláris koordináta-rendszer fókuszai megmaradnak pontoknak a biszférikus koordináta-rendszerben.

A ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ biszférikus koordináták leggyakrabban használt definíciója:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}}$

ahol egy ${\displaystyle P}$ pont ${\displaystyle \sigma }$ koordinátája megegyezik az ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ szöggel; a ${\displaystyle \tau }$ koordináta pedig a fókuszoktól mért ${\displaystyle d_{1}}$ és ${\displaystyle d_{2}}$ hányadosának természetes logaritmusa:

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

A konstans ${\displaystyle \sigma }$-jú felületek különböző sugarú, egymást metsző tóruszok:

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\operatorname {ctg} \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

melyek mind áthaladnak a fókuszokon, de nem metszik egymást. A konstans ${\displaystyle \tau }$-jú felületek különböző sugarú, egymást nem metsző gömbök, melyek körülveszik a fókuszokat:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\operatorname {cth} \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}}$

A konstans ${\displaystyle \tau }$-jú gömbök középpontja a ${\displaystyle z}$-tengelyen helyezkedik el, míg a konstans ${\displaystyle \sigma }$-jú tóruszok középpontja az ${\displaystyle xy}$-síkban található.

Az inverz transzformációk képletei:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\dfrac {R^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsh} \left({\dfrac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\operatorname {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right),\end{aligned}}}$

ahol ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ és ${\textstyle Q={\sqrt {\left(R^{2}+a^{2}\right)^{2}-\left(2az\right)^{2}}}.}$

A ${\displaystyle \sigma }$ és ${\displaystyle \tau }$ biszférikus koordináták skálázási tényezője megegyezik:

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

míg az azimut skálázási tényezője

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

A bipoláris koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének megoldását, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását. Azonban a a Heimholtz-egyenlet nem biztos, hogy szétválasztható ebben a koordináta-rendszerben.

Egy tipikus példa két különböző sugarú vezető gömb elektromos mezője.

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 665–666. o. (1953) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 182. o. (1961) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 113. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 
• Moon PH, Spencer DE. Bispherical Coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer Verlag, 110–112 (Section IV, E4Rx). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7 
• MathWorld description of bispherical coordinates

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bispherical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.