Elliptikus koordináta-rendszer

A geometriában az elliptikus koordináta-rendszer olyan kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, melynek koordinátavonalai konfokális ellipszisek és hiperbolák. Az ${\displaystyle F_{1}}$ és ${\displaystyle F_{2}}$ fókuszpontokat rendszerint egy Descartes-féle koordináta-rendszer ${\displaystyle x}$-tengelyén, az ${\displaystyle x=-a}$ és ${\displaystyle x=+a}$ pontokban veszik fel.

A ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ elliptikus koordináták leggyakoribb definíciója:

${\displaystyle x=a\ \operatorname {ch} \mu \ \cos \nu }$

${\displaystyle y=a\ \operatorname {sh} \mu \ \sin \nu }$

ahol ${\displaystyle \mu }$ nemnegatív valós szám és ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$

Komplex síkon egy ekvivalens kapcsolat:

${\displaystyle x+iy=a\ \operatorname {ch} (\mu +i\nu )}$

Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\operatorname {ch} ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\operatorname {sh} ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans ${\displaystyle \mu }$-höz tartozó koordinátavonalak ellipszisek, míg a

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\operatorname {ch} ^{2}\mu -\operatorname {sh} ^{2}\mu =1}$

mutatja, hogy a konstans ${\displaystyle \nu }$-höz tartozók hiperbolák. ${\displaystyle \mu =0}$ esetén az ellipszis koordinátavonal a két gyújtópontot összekötő szakasszá fajul. ${\displaystyle \nu =0}$ esetén a hiperbola az ${\displaystyle \left[a,\infty \right[}$ félegyenessé fajul el az ${\displaystyle x}$-tengelyen, ${\displaystyle \nu =\pi }$ esetén a hozzá tükörszimmetrikus félegyenessé az ${\displaystyle x}$-tengely negatív felén. ${\displaystyle \nu ={\tfrac {\pi }{2}}}$ és ${\displaystyle \nu ={\tfrac {3\pi }{2}}}$ esetén a koordinátavonal az ${\displaystyle y}$-tengely pozitív, illetve negatív fele.

Az összes ellipszis és hiperbola lineáris excentricitása megegyezik: ${\displaystyle e=a}$. Azokon az ellipsziseken, ahol ${\displaystyle \mu }$ konstans, a nagytengely ${\displaystyle \alpha =a\operatorname {ch} \mu }$, a kistengely ${\displaystyle \beta =a\operatorname {sh} \mu }$ és numerikus excentricitása ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{\operatorname {ch} \mu }}}$. Azokon a hiperbolákon, ahol ${\displaystyle \nu }$ konstans, a valós féltengely ${\displaystyle \alpha =a\cos \nu }$, a képzetes féltengely ${\displaystyle \beta =a\sin \nu }$, és a numerikus excentricitás ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{\cos \nu }}}$.

Az ábrázolás ebben a koordináta-rendszerben azért lehetséges, mivel a koszinusz hiperbólikusz és a szinusz hiperbólikusz, illetve a koszinusz és a szinusz triviálisan kielégíti az ellipszisek kis és nagytengelye, illetve a hiperbolák valós és képzetes tengelye közötti kapcsolatot.

Az ortogonális koordináta-rendszerekben a bázisvektorok hosszai skálázási tényezőkként ismertek. A ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ elliptikus koordináták skálázási tényezői:

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

A hiperbolikus és a trigonometrikus függvények kétszeres szögekre vonatkozó azonosságainak felhasználásával:

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

Így a felszínelem

${\displaystyle dA=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu =a^{2}\left(\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu =a^{2}\left(\operatorname {ch} ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\operatorname {ch} 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu }$

és a Laplace-operátor

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\operatorname {ch} ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\operatorname {ch} 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

A ${\displaystyle (\mu ,\nu )\rightarrow (x,y)}$ transzformációhoz a fenti jelöléseket használjuk.

Az ${\displaystyle (x,y)\rightarrow (\mu ,\nu )}$ inverz transzformációkhoz a koordináta-rendszer alapötletét kell figyelembe venni. Eszerint az ${\displaystyle (x,y)}$ pontnak rajta kell lennie egy ellipszisen és egy vele konfokális hiperbolán. Ezek féltengelyeit jelölje ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$. Az ellipszis és a hiperbola egyenletének felhasználásával:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(a\operatorname {ch} \mu )^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(a\operatorname {sh} \mu )^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(a\cos \nu )^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(a\sin \nu )^{2}}}}$

Ezeket az egyenleteket kielégíti a fent leírt Descartes-koordináta-rendszer.

Alkalmazzuk most az alapvető hiperbolikus és trigonometrikus összefüggéseket:

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}$

ez alapján levezethető a következő transzformációleírás:

${\displaystyle a^{2}{\operatorname {sh} }^{2}\mu ={\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}\right)^{2}+a^{2}y^{2}}}=m+{\sqrt {m^{2}+a^{2}y^{2}}}}$

${\displaystyle a^{2}\sin ^{2}\nu =-{\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}\right)^{2}+a^{2}y^{2}}}=-m+{\sqrt {m^{2}+a^{2}y^{2}}}}$

ahol ${\displaystyle m:={\tfrac {x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2}}}$.

Néha másként definiálják az elliptikus koordinátákat, azaz a koordináták ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$, ahol ${\displaystyle \sigma =\operatorname {ch} \mu }$ és ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$. Így a konstans ${\displaystyle \sigma }$-hoz tartozó koordinátavonalak ellipszisek, és a konstans ${\displaystyle \tau }$-hoz tartozók hiperbolák. A ${\displaystyle \tau }$ koordináta a [-1, 1] intervallumba kell, hogy essen, míg a ${\displaystyle \sigma }$ koordinátának eleget kell tennie a ${\displaystyle \sigma \geq 1}$ egyenlőtlenségnek.

A ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle (-a,0)}$ és ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle (+a,0)}$ fókuszpontok távolságával. A sík minden pontja esetén a ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ fókuszoktól mért távolság megegyezik a ${\displaystyle 2a\sigma }$-val, míg a ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ különbség egyenlő ${\displaystyle 2a\tau }$-val. Emiatt a ${\displaystyle F_{1}}$-től mért távolság ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, illetve az ${\displaystyle F_{2}}$-től vett távolsága ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$.

Ezeknek a koordinátáknak az a hátránya, hogy több ponthoz is ugyanazokat a koordinátákat rendeli. Így a (x,y) és az (x,-y) Descartes-koordinátájú pontok ugyanazt a ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ elliptikus koordinátáját kapják. Ezzel a visszatérés a Descartes-koordinátákra nem egyértelmű.

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

A ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ koordinátákkal ellátott alternatív elliptikus koordináta-rendszer skálázási tényezői:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$

Így a felszínelem:

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Az elliptikus koordináta-rendszer többféleképpen is általánosítható:

• Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer megkapható a ${\displaystyle z}$-irányba vetítéssel.
• A lapított ellipszoid koordináta-rendszer megkapható az ${\displaystyle y}$-tengely körüli forgatással (ami szétválasztja a fókuszokat)
• A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer megkapható az ${\displaystyle x}$-tengely körüli forgatással (ami összeköti a fókuszokat)
• Az ellipszoid koordináta-rendszer az elliptikus koordináta-rendszer formális definíciójának kiterjesztésével kapható. Koordinátafelületei ellipszoidok, egy és két köpenyű hiperboloidok.^[1]

Az elliptikus koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenlete és a Helmholtz-egyenlet. Ezekben a rendszerekben az elliptikus koordináták természetes leírást adnak, ami lehetővé teszi a változók szétválasztását. Ilyen példa egy molekula elektronjai vagy ellipszis alakú bolygópályák.

A H₂⁺-molekula Schrödinger-egyenlete a Born-Oppenheimer-megközelítésben teljesen szeparálható ebben a koordináta-rendszerben, de analitikusan nem oldható meg, mivel az energia és a szeparációs konstans két-két szétválasztott egyenletében explicit megjelennek.

Hasznosnak bizonyulhatnak az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is. Egy tipikus példa integráció az összes olyan ${\displaystyle \mathbf {p} }$ és ${\displaystyle \mathbf {q} }$ vektorpáron, ahol ${\displaystyle \mathbf {p} }$ és ${\displaystyle \mathbf {q} }$ összege egy konstans ${\displaystyle \mathbf {r} }$ vektor. Az integrandus pedig a ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ és ${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$ vektorhosszak függvénye. Ekkor a koordináta-rendszert úgy vesszik fel, hogy az ${\displaystyle x}$-tengely pozitív iránya az ${\displaystyle \mathbf {r} }$ vektorral megegyezzen, vagyis ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$. Például ${\displaystyle \mathbf {r} }$, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ és ${\displaystyle \mathbf {q} }$ rendre egy részecske momentuma és dekompozíciós komponensei, és az integrandus magában foglalja a komponensekhez tartozó mozgási energiát, ami a momentumok négyzetösszegével arányos.

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Elliptic coordinate system című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben az Elliptische Koordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Elliptic coordinates - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. (Hozzáférés: 2022. július 23.)
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Cylindrical Coordinates." From MathWorld — A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html
• D.D. Sokolov: Elliptic coordinates. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001