Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!
Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével, hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek.
Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni, hogy megfeleljen a Wikipédia cikkszerkezetre vonatkozó követelményeinek.
Ennek a szócikknek hiányzik vagy nagyon rövid, illetve nem elég érthető a bevezetője. Kérjük, segíts olyan bevezetőt írni, ami jól összefoglalja a cikk tartalmát, vagy jelezd észrevételeidet a cikk vitalapján.
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.
A valószínűségszámításban egy valószínűségi változófeltételes várható értéke a várható érték, feltéve, hogy bekövetkezik egy adott esemény. Ha véges sok kimenetel lehetséges, akkor ez azt jelenti, hogy csak bizonyos értékeket vehet fel. Formálisabban, az esemény és komplementere particionálja a valószínűségi mezőt.
Több valószínűségi változó esetén, egy valószínűségi változó várható értékben független egyenként vagy együttesen akkor és csak akkor, ha a feltételes várható értéke megegyezik a feltétel nélküli várható értékkel.
A feltételes várható érték szintén valószínűségi változó, de elemi esemény mint feltétel esetén elfajult eloszlású, vagyis konstans.
A fogalom általánosítható minden valószínűségi mezőre a mértékelmélet felhasználásával.
1. példa: Tekintsünk egy szabályos dobókockát! Legyen az A esemény az, hogy páros számot dobunk, tehát a kimenetel 2, 4, vagy 6; a B esemény az, hogy az eredmény prímszám, azaz 2, 3 vagy 5. A táblázatban az esemény bekövetkeztét 1, be nem következését 0 jelöli.
1
2
3
4
5
6
A
0
1
0
1
0
1
B
0
1
1
0
1
0
Az A esemény feltétel nélküli várható értéke . Az A feltéve B (jelben A|B) esemény várható értéke , míg a B komplementer eseményén. Hasonlóan, E(B|A) értéke , és .
2. példa: Tegyük fel, hogy van egy 10 éves adatsor az időjárásról! Ekkor meg lehet nézni az átlagos napi csapadékmennyiséget (tapasztalati feltétlen várható érték), az év egy szakaszában számított átlagos napi csapadékmennyiséget vagy az év egy bizonyos napjára jutó napi csapadékmennyiséget (tapasztalati feltételes várható értékek). A feltétlen esethez 3652 napi átlagot, március hónaphoz 310 napi átlagot, március 2-ához 10 napi átlagot kell figyelembe venni.
Klasszikus definíció
Eseményre vett feltételes várható érték
A klasszikus valószínűségszámításban egy valószínűségi változó feltéve egy esemény átlaga összes kimenetelére, azaz
ahol a elemszáma. lehet az, hogy egy másik valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel, azaz .
A fenti összeg csoportosítható értékei szerint, vagyis -en összegzünk, ami lehetséges kimeneteleinek halmaza:
Általában, ha a esemény valószínűsége pozitív, akkor hasonló formula teljesül. Külön figyelmet kap az a speciális lehetőség, ha a azt jelzi, hogy egy másik valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel, azaz . Legyen valószínűségi mező, valószínűségi változó ezen, és legyen . Ekkor feltételes várható értéke feltéve, hogy , nem más, mint
ahol az lehetséges kimenetelei, és a valószínűségi mérték, és minden mérhető halmazra feltételes valószínűsége feltéve .
Ha és egy esemény, akkor a fenti definíció nem terjeszthető ki, habár más számítási módszerekkel egy érték kiszámítható. A Borel–Kolmogorov-paradoxon mutatja, hogy a feltételes valószínűség, így a feltételes várható érték nem határozható meg a definíció alapján. A megoldás a σ-algebrára és a valószínűségi változóra való kiterjesztés, amiből egy olyan definíció adódik, amivel ekkor is meghatározható a feltételes várható érték.
Valószínűségi változóra vett feltételes várható érték
Ha diszkrét valószínűségi változó ugyanazon az valószínűségi mezőn, mint , és lehetséges kimenetelei , akkor feltételes várható értéke feltéve egy valószínűségi változó -on, melynek definíciója
Egy kapcsolódó -ből -ba menő függvény definíciója
Ez a függvény az valószínűségi változó feltételes várható értéke az által generált σ-algebrára. A két függvény kapcsolata
Ahogy fentebb említettük, ha folytonos valószínűségi változó, akkor nem lehet definiálni -et ezen a módon. A Borel–Kolmogorov-paradoxon szerint meg kell határozni, hogy mely korlátozó procedúra hozza létre az Y = y egyenlőséget. Ha az eseménytérnek van távolságfüggvénye, akkor eljárhatunk a következőképpen. Feltéve, hogy minden P-mérhető és minden esetén. Ekkor az szerinti feltételes várható érték jóldefiniált. Az korláttal a nullához tartva definiálhatjuk, hogy
A korlátozó folyamatot a Radon–Nikodym-deriválttal helyettesítve egy általánosabb analóg definícióhoz jutunk.
Formális definíció
Feltételes várható érték rész-σ-algebrára
σ-algebrára vett feltételes várható érték: ebben a példában az valószínűségi mező az [0,1] intervallum a Lebesgue-mértékkel. Definiáljuk a következő σ-algebrákat: ; az a σ-algebra, amit a 0, ¼, ½, ¾, 1 végpontú intervallumok generálnak; és a 0, ½, 1 végpontú intervallumok által generált σ-algebra. Itt a feltételes várható érték éppen a σ-algebra minimális halmazaira számított átlag
Mivel részalgebrája -nek, azért az függvény nem feltétlenül -mérhető. Ezért nem biztosított az integrál létezése, ahol és leszűkítése -ra. Azonban a lokális átlagok meghatározhatók -ban, a feltételes várható érték használatával. feltételes várható értéke adott -ra, amit jelöl, egy -mérhető függvény, ami minden esetén teljesíti azt, hogy
[1]
létezése könnyen megmutatható, ha észrevesszük, hogy véges mérték -n, ha , ami abszolút folytonos-re. Ha a természetes beágyazása -nak -be, akkor leszűkítése -ra, és leszűkítése -ra. Továbbá, abszolút folytonos -re, hiszen abból, hogy
Legyen -mérhető függvény úgy, hogy minden -mérhető függvényre
Ekkor a valószínűségi változó feltételes várható értéke egy adott valószínűségi változóra. Jelölése: .
Ez a definíció ekvivalens al--terére, amit szerinti ősképe definiál. Hogyha definiáljuk, hogy
akkor
.
Diszkusszió
A definíció nem konstruktív, csak megadtuk a szükséges tulajdonságot, aminek a feltételes várható értéknek meg kell felelnie.
Az definíciója hasonlít a definícióra egy eseménnyel, azonban ezek nem ugyanazok. Az előbbi egy -mérhető -függvény, az utóbbi egy eleme. Az előbb kiértékelése -n az utóbbit adja.
A követelmények nem garantálják a feltételes várható értéket. Létezésére a Radon–Nikodym-tétel ad kritériumokat. Egy elégséges feltétel, hogy várható értéke létezik.
Az egyértelműség majdnem biztos: A különböző feltételes várható értékek csak nulla valószínűségű halmazban különböznek.
A σ-algebra jellemzi a feltételezés szemcsézettségét. Egy nagyobb (finomabb) σ-algebra fölött több esemény valószínűségét őrzi meg. Egy szűkebb (durvább) σ-algebra több eseményt átlagol.
Kiszámítása
Ha és diszkrét valószínűségi változó, akkor feltételes várható értéke az Y = y eseményre tekinthető függvényének lehetséges kimeneteleinek halmazán:
ahol az lehetséges kimeneteleinek halmaza.
Ha folytonos, viszont diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az Y = y eseményre
ahol , és az és közös tömegfüggvénye.
Ha és folytonos valószínűségi változó, akkor feltételes várható értéke az Y = y eseményre
ahol és az sűrűségfüggvénye.
Tulajdonságok
Az alábbi tulajdonságok majdnem biztosak, és a -algebra helyett mindenütt vehető valószínűségi változó.
Tehát a definíciónak megfelel egy konstans valószínűségi változó, ahogy azt akartuk.
Ha független -tól, akkor . Ez nem feltétlenül teljesül, ha csak -tól vagy -tól független.
Ha független, és független, továbbá és független és és független, akkor .
Doob-féle feltételes függetlenségi tulajdonság:[2] Ha feltételesen független egy adott -re, akkor (vagy ekvivalensen, ).
Stabilitás
Ha -mérhető, akkor .
Ha valószínűségi változó, . Más alakban, .
Torony tulajdonság
A rész--algebrákra .
Speciális esetben, ha -mérhető valószínűségi változó, akkor , így .
Doob-féle martingál tulajdonság: Legyenek, mint előbb, és legyen , ami -mérhető, ekkor felhasználásával .
Ha valószínűségi változó, akkor .
Ha valószínűségi változó, akkor .
Konvergencia
Monoton konvergencia tétele: Ha , akkor .
Dominált konvergencia: Ha és , ahol , akkor .
Fatou-lemma: Ha , akkor .
Martingál konvergencia tétele: Ha valószínűségi változó véges várható értékkel, akkor , ha rész--algebrák növekvő sorozata és vagy ha rész--algebrák csökkenő sorozata és .
A feltételes operátor kontrakciós vetülete az . Lp-tereknek. Vagyis, minden p ≥ 1-re.
A feltételes várható érték mint -projekció: Ha a négyzetesen integrálható valós valószínűségi változók terének Hilbert-terének eleme, azaz második momentuma véges, akkor:
az leképezés önadjungált,
ha -mérhető, akkor , vagyis az feltételes várható érték az szerinti értelemben az ortogonális projekciója mint skaláris szorzat a -mérhető függvények alterében. Emiatt használható a Hilbert-féle projekciótétel alapján definiálható és bizonyítható a feltételes várható érték.
Legyen valószínűségi mező, valószínűségi változó és esemény, ha , akkor .
A definíció értelmezése a feltételes valószínűség alapján: , ahol a feltételes valószínűség definíciója szerint , a várható értékben lévő valószínűségre alkalmazva , tehát ez a valószínűség csak akkor nem 0, ha .
Ezért csak az eseményen integrálunk, viszont esetén és a mérték szerinti integrál definíciója szerint . Ezt alkalmazva .
A feltételes várható érték tulajdonságai: lineáris: ha , akkor .
Az valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni, amennyiben tudjuk, hogy egy -algebrában lévő események bekövetkeznek.
Legyen valószínűségi mező, valószínűségi változó és -algebra, ha ekkor létezik olyan valószínűségi változó, amely mérhető és minden esemény esetén .
Feltételes szórás
A feltételes várható érték segítségével definiálható feltételes szórás is. A képletekben szórás helyett szórásnégyzet szerepel:
Definíció:
Algebrai képlet:
Teljes szórás tétele: .
Története
A feltételes valószínűség fogalmát Laplace vezette be, aki feltételes eloszlásokat számított. Andrej Kolmogorov 1933-ban formalizálta a Radon–Nikodym-tétellel.[3]Halmos Pál[4] és Joseph L. Doob[1][5] 1953-ban általánosította a ma is használt fogalmat al-σ-algebrákkal.[6]
Jegyzetek
↑ abBillingsley, Patrick. Probability and Measure, 3rd, John Wiley & Sons, 445. o. (1995). ISBN 0-471-00710-2
↑Kallenberg, Olav. Foundations of Modern Probability, 2nd, York, PA, USA: Springer, 110. o. (2001). ISBN 0-387-95313-2
↑Kolmogorov, Andrey. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (german nyelven). Berlin: Julius Springer, 46. o. (1933)
Translation: Kolmogorov, Andrey. Foundations of the Theory of Probability, 2nd, New York: Chelsea (1956). ISBN 0-8284-0023-7. Hozzáférés ideje: 2018. szeptember 5.
↑Oxtoby, J. C. (1953). „Review: Measure theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc.59 (1), 89–91. o. DOI:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8.
↑J. L. Doob. Stochastic Processes. John Wiley & Sons (1953). ISBN 0-471-52369-0
↑Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. edition. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 573.
Források
William Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol 1, 1950, page 223
Paul A. Meyer, Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co., 1966, page 28
Probability and Random Processes, 3rd, Oxford University Press (2001). ISBN 0-19-857222-0, pages 67–69
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Conditional expectation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.