Heaviside-függvény
Az ún. Heaviside-függvény (a műszaki életben gyakran: egységugrás függvény) egy elemi egyváltozós valós függvény. A lépcsős függvények családjába tartozik, a szignumfüggvény egyszerű lineáris transzformáltja: kiszámolható, mint a független változó szignumának és az 1 konstansnak számtani közepe.
A függvényt a műszaki életben (például elektronika, vezérléselmélet, DSP, MNH- és általában MI-kutatás) is alkalmazzák. Gyakorta használják olyan szignálok leírására, melyek egy adott időponttól kezdve folyamatosan észlelhetőek. Általában H(x)-szel jelölik, de előfordul még a θ(x) és az u(x) jelölés is. Szokásos az ε(t) jelölés is.
Angolszász nyelvterületen a Heaviside function (Heaviside-függvény) néven kívül nevezik unit step functionnek („egységugrás függvény”),[1] illetve hard limit functionnek („éleshatár”-függvény). Ezek az elnevezések a magyar nyelvű szakmunkákban is gyakran előfordulnak.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Dirac_distribution_CDF.svg/250px-Dirac_distribution_CDF.svg.png)
megállapodást használva
Történetéről
A függvényt Oliver Heaviside (1850 – 1925) angol mérnök-fizikus-matematikus vezette be az elektronikus áramkörökben mért áramerősség elméleti leírására.
Többféle konvenció alakult ki arra nézve, hogy a 0 szakadási helyhez tartozó H(0) értéket hogyan definiálják. Eredetileg a H(0) := 0,5 megállapodás volt használatos, és ma is ez a leggyakoribb; későbbi szerzők a H(0) = 0 vagy a H(0) = 1 megállapodással is élnek (ld.: Heaviside-függvénycsalád).
A Heaviside-függvény definíciói
|
A függvényt többek között esetszétválasztásos úton ([1]), vagy az ún. szignumfüggvény () felhasználásával ([2]) lehet definiálni.
Értékei azonban infinitezimális (azaz határértékeket, például Riemann-integrált használó) úton is számolhatóak: a Dirac-féle deltafüggvény általánosított Riemann-integrálásával, azaz ún. improprius integrálásával ([3]), illetve egy komplex függvénytani formulával ([4]).
A Heaviside-függvénycsalád
A H(0) = 0,5 egyenlőség helyett megállapodhatunk bármely másik valós számban is, a függvény 0 helyen vett értéke mi legyen. Így definiálható végtelen sok (kontinuum sok) függvény, melyek „majdnem mindenütt” egyenlőek az itteni képlettel definiált függvénnyel:
Hz(x): ℝ→ℝ; Hz(x) = |
ahol z∈ℝ tetszőleges valós szám lehet.
Ezek közül leggyakrabban H0(x)
(tehát melyre H0(0)=0
) illetve a H1(x)
(tehát melyre H1(0)=1
) használatosak. Megvan az az előnyük, hogy elegendő csak kettős esetszétválasztással definiálni őket, és nem kell három esetet megkülönböztetni.
Pl.:
H0(x): ℝ→ℝ; H0(x)
= Mellesleg, H1(x)
egyszerű lineáris transzformáltja H0(x)
-nak:
H1(x)
=
-H0(-x)+1
Néha a Hz(x)
jelölést a H(x-z)
, még inkább a H1(x-z)
rövidítésére is használják; noha ily módon csak egy nagyon egyszerű lineáris transzformációt rövidítenek.
Analitikus tulajdonságok
Nemnegativitás
A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, azaz
∀x∈ℝ: H(x)≥0
és
|H(x)| = H(x)
.- Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív (hiszen 1), a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.
Ez a Hz(x)
családnak csak azon tagjaira igaz, melyekre z≥0. Az x = 0 kivételével azonban a család összes többi tagja is mindenütt másutt nemnegatív.
Korlátosság
A teljes értelmezési tartományon korlátos, hiszen
∀x∈ℝ: |H(x)|≤1
Az 1. definíció alapján ez nyilvánvaló, hiszen x>0 esetén a függvény legfeljebb 1, és így abszolút értéke is legfeljebb 1; x=0 esetén a függvény 1/2, míg x<0 esetén 0, és az utóbbi esetekben is kisebb 1-nél, de nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, s így abszolút értéke is kisebb mint 1.
A Hz(x)
család többi tagjai is mind korlátosak, csak épp az abszolútérték korlátja nem 1, hanem |z| (hasonlóan bizonyíthatóan az előző gondolatmenethez), tehát:
∀x∈ℝ: |Hz(x)|<|z|
Folytonosság
Nem folytonos, mert 0-ban szakadási helye (ráadásul nem megszüntethető szakadása) van, de 0-t kivéve az értelmezési tartomány összes többi pontjában folytonos. Összességében: majdnem mindenütt folytonos.
Ez igaz a Hz(x)
család összes többi tagjára is.
Derivált
Deriváltja az x = 0 kivételével mindenütt a konstans 0 függvény, tehát
H
'(x) = 0(x) = 0
ha x≠0.
(tehát a H(x) mint függvény deriváltja a 0(x) konstans 0 függvény, míg a H(x) x helyen felvett értéke a 0 szám).
Hiszen a függvény mindenütt konstans, tehát deriváltja, ahol csak létezik, 0. És a 0 helyet kivéve, minden más helyen létezik.
Azonban a deriváltfüggvényt a kibővített valós számok halmazán (ℝ∪{±∞}
) értelmezve, a 0 helyen is létezik derivált, mégpedig a Dirac-delta;[2] mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞.
A deriváltra vonatkozó fenti megállapítások igazak a Hz(x)
család összes többi tagjára is.
Integrál
Integrálja az ún. rámpafüggvény:
Itt az ún. Dirac-delta.
Algebrai tulajdonságok
Iteráció-stabilitás
Az iterációra („önmagára való alkalmazásra”) nézve nem invariáns, ugyanis H<2>
(x) második iteráltja nem önmaga, hanem
Magasabb fokú iteráltjai azonban n = 3-tól kezdve már stabilizálódnak, a harmadik iterált már iteráció-invariáns, sőt iteráció-fix; a stabil iterált pedig a konstans 1 függvény:
Ezt úgy láthatjuk be, hogy az alábbi táblázatban sorról sorra kiszámítjuk az értékeket, minden oszlop értékei az előző oszlop megfelelő cellájában lévő érték H(x) szerinti képe.
n | x>0 | x=0 | x<0 | H<n>(x) |
0 | x | x | x | idℝ |
1 | 1 | 1/2 | 0 | H(x) |
2 | H(1) = 1 | H(1/2) = 1 | H(0) = 1/2 | |
3 | H(1) = 1 | H(1) = 1 | H(1/2) = 1 | 1(x) |
4 | H(1) = 1 | H(1) = 1 | H(1/2) = 1 | 1(x) |
… |
Ez igaz a Hz(x)
család z>0 paraméterű tagjaira is. A z<0 negatív paraméterű tagok iteráltja nem stabilizálódik, hanem az n=1-rendű iterált (az eredeti függvény) és egy másik függvény (az n=2-rendű iterált) közt felváltva ingadozik.
Diszkrét Heaviside-függvény
Az értelmezési tartomány ℕ-re szűkítésével kapjuk a diszkrét Heaviside-függvényt:
ahol a Kronecker-delta-függvény.
Technikai felhasználása
Elektronikában
Erősítő, vagy szabályzókör bemenetére egységugrás függvény szerinti jelet (gyakorlatilag négyszögjelet) kapcsolva a kimeneti jel alapján a frekvenciamenetre, és a stabilitásra vonatkozó következtetéseket lehet levonni (a frekvenciamenet vizsgálat pontosabb eredményt ad).
Jegyzetek
- ↑ Egységugrás függvény
- ↑ IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Unit-pulse response. electropedia.org, 2011. (Hozzáférés: 2011. október 3.)
- ↑ A félreérthető 1(x) = 1 egyenlőség ama két állítást tömöríti, hogy az iterált függvény a konstans 1 függvény, ennélfogva a függvényértékek mindenütt az 1 számmal egyenlőek; s nem szabad úgy kiolvasni, hogy a konstans módon 1 értéket felvevő valós-valós függvény azonos lenne az 1 valós számmal (csupán az értékei).
Irodalom
- Weisstein, Eric W.: Heaviside-függvény (angol nyelven). Wolfram MathWorld