Implikáció
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Venn1011.svg/200px-Venn1011.svg.png)
Klasszikusan
![A → B](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Venn1011.svg/40px-Venn1011.svg.png)
![¬A](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Venn1010.svg/40px-Venn1010.svg.png)
![B](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Venn0011.svg/40px-Venn0011.svg.png)
Az implikáció, kondicionális vagy szubjunkció logikai művelet, használjuk a matematikai logikában, informatikában. Két állítást kapcsol össze, és jelentése a ha, akkor nyelvi kifejezéshez áll közel. Példa: Ha esik az eső, akkor az út vizes. Az implikáció a logikában nem fordítható meg, visszafelé a következtetés nem érvényes. Így például nem lehet arra következtetni az előző állításból, hogy ha vizes az utca, akkor esik az eső. A nyelvben a Ha, akkor szavakkal összekapcsolt mondatoknak gyakran más logikai művelet felel meg, ahol a következtetés visszafelé is érvényes: az ekvivalencia, más néven bikondicionális. A két művelet közötti különbségről hosszabban a bikondicionális cikkünkben írunk.
Különbséget kell tenni a logikai és a metanyelvi implikáció között. A metanyelvi implikáció két állításról tesz kijelentést, Például: Az „Esik az eső.” állítás implikálja a „Vizes az utca.” állítást. A kettő közötti kapcsolat az, hogy az egyik akkor és csak akkor igaz, hogyha a másik is. Az implikáció feltétlenül nem jelent oksági kapcsolatot, anélkül is fennállhat.
Félreértésekhez vezet, hogy a hamis előtag implikál bármilyen utótagot. Így például a „Ha , akkor az ember halhatatlan.” mondat igaz, de mindkét tagja hamis. Az implikáció igaz voltából nem lehet következtetni az utótag igaz voltára. Ez a materiális implikáció paradoxona.
Jelölése
Az implikációt jelölheti → nyíl, kettős nyíl, vagy patkó. Lengyelformában C a jele. Ha a nyíl, illetve patkó iránya fordított, akkor az utótag implikálja az előtagot. Gottlob Frege a klasszikus logika első formalizációjával az implikációt jellel fejezte ki fogalomírásában.
Igazságtáblája
Ha p és q ítéletek, melyek lehetséges értékei 0 (hamis) vagy 1 (igaz), akkor az implikáció műveletét, melynek jele a →, a következő művelettábla szerint értelmezzük:
p | q | p→q |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
ahol 1 az igaz, 0 a hamis jele.[1] Már Megarai Philon is így értelmezte a műveletet.
A fentiek szerint hamis állításból következhet hamis, hamisból következhet igaz (reductio ad absurdum módszere), igazból nem következhet hamis, igazból következhet igaz állítás.[2] Ez tulajdonképpen a „Ha…, akkor…” kijelentésnek felel meg. Példa: Ha húsz fok van odakint, akkor nem veszek kabátot.
Tulajdonságai
Az implikáció:
- disztributív önmagára:
- tranzitív:
- reflexív:
- Teljesül a totalitás is:
- igazőrző, azaz abban az interpretációban, ahol az operandusok mindegyike igaz, az implikáció is igaz
- az előfeltételek felcserélhetősége:
A formula ekvivalens -val, és a De Morgan-szabály alapján -val (inferencia).[3] A minimális logikában azonban az implikáció csak logikailag következik a képletből. Az intuicionista logikában az implikációból következik .
Jegyezzük meg, hogy logikailag ekvivalens -vel. Ezt curryzésnek nevezik, emiatt kényelmes jobbra zárójelező írásmódot bevezetni az implikációra: azt jelenti, hogy .
Az implikáció kifejezhető úgy is, mint . A tagadás megfelel -nek.
A dialogikus logikában
A dialogikus logikában az implikációt a következő szabályok definiálják:
Implikáció | Támadás | Védekezés |
---|---|---|
A dialogikus logikában a támadó kétségbe vonja az előtagot. Ekkor a védőnek először az előtagot, majd az utótagot kell bizonyítania. Például ha az állítja: Ha a benzinárak nőnek, akkor csökken az autóforgalom, akkor a támadó kétségbe vonhatja, hogy a benzinárak tényleg nőnek, azért ezt kell először bizonyítania. Keretrendszertől függ, hogy az implikációs kapcsolatot, vagy az utótagot az előtagtól függetlenül kell-e igazolnia.
Formális összekötőként
Formális összekötőként a következő szabályok alkalmazhatók rá:[1]
- modus ponens
- kondicionális bizonyítás
- klasszikus kontrapozíció
- klasszikus reductio ad absurdum
A logikai összekötőként való megközelítés lehetővé teszi a szerkezetileg azonos propozíciós formák vizsgálatát különböző logikai rendszerekben, melyekben különböző tulajdonságok mutathatók ki. Például az intuicionista logika nem fogadja el a kontrapozíciót, így (p → q) ⇒ ¬p ∨ q nem propozíciós tétel, viszont az implikációval definiálja a tagadást.
A formális logikában
A formális logikában megkülönböztetik a szemantikus következmény relációtól. Azt mondjuk, hogy , hogyha minden interpretációban, ahol A igaz, B is igaz. Azonban a legtöbb logika, köztük a klasszikus logika szerint a kettő kapcsolatban áll egymással:
- Ha , akkor valamely esetén. Szavakkal, ha Γ modellezi ψ-t, akkor ψ levezethető a Γ állításainak egy részéből.
- Ugyanez teljesül megfordítva is.
- Mindkét reláció monoton, azaz, ha , akkor , és ha , akkor valamely
α, Δ esetén. Erre gyakran gyengítésként hivatkoznak.
Mindezek a kapcsolatok nem állnak fenn minden logikában, így például a nem monoton logikákban, illetve a relevancialogikákban.
A természetes nyelvben
A természetes nyelvben:
- Nem lehet az, hogy ha P igaz, akkor Q nem igaz.
- Nincs P Q nélkül. Ahol a következmény hiányáról van szó.
Források
- Rüdiger Inhetveen: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, ISBN 3-937219-02-1.
- Wilhelm Kamlah, Paul Lorenzen: Logische Propädeutik. Vorschule des vernünftigen Redens. Metzler, Stuttgart 1996, ISBN 3-476-01371-5.
- Kuno Lorenz, Paul Lorenzen: Dialogische Logik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06707-X.
- Paul Lorenzen: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. Metzler, Stuttgart 2000, ISBN 3-476-01784-2.
Jegyzetek
- ↑ a b Clarke, Matthew C.: A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication. Cornell University, 1996. március 1. (Hozzáférés: 2012. március 4.)
- ↑ Magnus, P.D: forallx: An Introduction to Formal Logic. Creative Commons, 2012. január 6. (Hozzáférés: 2013. május 28.)
- ↑ Teller, Paul: A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1. Prentice Hall, 1989. január 10. [2013. szeptember 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. május 28.)
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Subjunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Material conditional című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
![]() | Ez a logikával kapcsolatos lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |