Jacobi–Anger-azonosság

A matematikában a Jacobi–Anger-azonosság (más néven Jacobi–Anger-kiterjesztés) a trigonometrikus függvények exponenciálisainak kiterjesztése a harmonikusaikra alapozva.

Ez a kiterjesztés hasznos lehet a fizikában (például síkhullámok és hengerhullámok konvertálásakor) és a jelfeldolgozás területén (FM-jelek leírása).

Az azonosságot két 19. századi matematikus, Carl Jacobi és Carl Theodor Anger után nevezték el.

Az azonosság legáltalánosabb alakja: ^[1][2]

${\displaystyle e^{iz\cos \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta }}$

és

${\displaystyle e^{iz\sin \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)e^{in\theta },}$

ahol ${\displaystyle J_{n}(z)}$ az n. Bessel-függvény. Felhasználva a ${\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z)}$ összefüggést, n egész számra érvényes módon, kapjuk:^[1][2]

${\displaystyle e^{iz\cos \theta }=J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).}$

A következő valós értékű változatok is hasznosak lehetnek:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&=-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&=2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}$

• Colton, David; Kress, Rainer: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, "Chapter 9". (hely nélkül): New York: Dover. 1998. 355. o. ISBN 978-0486612720  
• Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William: Handbook of continued fractions for special functions. (hely nélkül): Springer. 2008. ISBN 978-1-4020-6948-2  

• Trigonometria
• Hullámtan
• Exponenciális függvény

• Angolul röviden