A csoportelmélet egy jelentős eredménye a Jordan–Hölder-tétel, amely azt állítja, hogy ha egy csoportnak van kompozíciólánca (olyan normállánca, ami tovább nem finomítható), akkor a csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.
Története
A tétel egy kezdetleges változatát Marie Ennemond Camille Jordan bizonyította be 1869-ben. A bizonyítást Otto Ludwig Hölder 1889-ben egészítette ki. A Jordan–Hölder-tételnek gyakran alkalmazott általánosítása a Schreier-féle finomítási tétel, amit Otto Schreier 1928-ban publikált. Hat évvel később 1934-ben Hans Zassenhaus továbbfejlesztette Schreier bizonyítását a Zassenhaus-lemma felhasználásával.
Bizonyítás
Legyen
egy kompozíciólánccal rendelkező csoport. A tételt a kompozíciólánc
hosszára vonatkozó indukcióval igazoljuk.
Ha
, azaz
(ahol
a csoport egységeleme)kompozíciólánc, akkor
egyszerű, így ez az egyetlen kompozíciólánca.
Tegyük fel, hogy a tételben foglalt állítás r-nél kisebb hosszúságú láncokra igaz, és legyen
és ![{\displaystyle G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c60ee98aa1b711653d274516bc5f3c22e5799c7)
-nek két kompozíciólánca.
Ha
, akkor elhagyva
-t mindkét helyen, a
csoportnak két kompozícióláncát kapjuk. Ezek egyikének hossza
, tehát a
-ből illetva
-ből kiinduló részláncok izomorfak.
miatt a két kompozíciólánc ebben az esetben szükségképpen izomorfak.
Ha
, akkor mivel sem
és
sem
és
közé nem iktatható tőlük különböző normális részcsoport,
és
a
-nek maximális normális részcsoportjai.
újból normális részcsoport
-ben, így
.
Tekintsük a
és
normálláncokat. Itt
a
-nek normális részcsoportja, tehát
-ben és a
-ben is normális és ezek mindegyikétől különbözik
miatt. Az I. izomorfizmus-tétel figyelembevételével
és
,
vagyis
-nek első, illetve második faktora izomorf
-nek második illetve első faktorával.
egy kompozícióláncának hossza
, tehát
-é
.
-ben és
-ben a pontok helyére
-nek egy kompozícióláncát téve
-nek két izomorf kompozícióláncát kapjuk.
Mivel
és
-ben,
és
-ben közös a már bizonyíitottak szerint
és
illetve
és
izomorf kompozícióláncok. A tranzitivitás következtében
és
is izomorf.
Alkalmazás
A magasbbfokú algebrai egyenletek elméletében fontos fogalom a feloldható csoport fogalma.
-t feloldható, ha van olyan normállánca, melyben minden faktorcsoport Abel-féle.
Kompozíciólánccal rendelkező csoport esetében ez azt jelenti, hogy van olyan kompozíciólánca (és a Jordan–Hölder-tétel szerint mindegyik olyan), amelynek faktorai kommutatívak.
Források
- Fuchs László, Algebra, Tankkönyvkiadó, 1963., 45. o.
- a tétel rövid története és alternatív bizonyítása
- MathWorld
- PlanetMath Archiválva 2010. június 20-i dátummal a Wayback Machine-ben
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap