Kétközepű bipoláris koordináták

A matematikában a kétközepű bipoláris koordináták egy síkbeli koordináta-rendszer koordinátái, ami azon alapul, hogy a sík pontjai milyen távolságra vannak két kijelölt ponttól, melyek szokásos elnevezése ${\displaystyle c_{1}}$ és ${\displaystyle c_{2}}$.^[1] A rendszernek sok tudományos alkalmazása van, például egy síkbeli dipólus elektromos mezőjének kiszámítása.^[2][3]

Ha a középpontok koordinátái ${\displaystyle (+a,0)}$ és ${\displaystyle (-a,0)}$, akkor az ${\displaystyle (r_{1},r_{2})}$ kétközepű bipoláris koordinátákról így térhetünk át ${\displaystyle (x,y)}$ Descartes-koordinátákra:

${\displaystyle x={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{4a}}}$

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4a}}{\sqrt {16a^{2}r_{2}^{2}-(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}+4a^{2})^{2}}}}$^[1]

Ha x > 0, akkor a kétközepű bipoláris koordináták transzformációja polárkoordinátákká:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2a^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\sqrt {r_{1}^{4}-8a^{2}r_{1}^{2}-2r_{1}^{2}r_{2}^{2}-(4a^{2}-r_{2}^{2})^{2}}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}\right)}$

ahol ${\displaystyle 2a}$ a pólusok közötti távolság.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Two-center bipolar coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.