Kúpkoordináták

A kúpkoordináták koordinátafelületei. A bés cparaméterek értéke rendre 1, illetve 2. A piros gömb az r = 2 értékhez tartozik; a kék elliptikus kúp, melynek tengelye a z-tengely, az μ=cosh(1) értéket reprezentálja; illetve az x-tengelyű sárga elliptikus kúp megfelel a ν2 = 2/3 értéknek. A három felület közös metszéspontja a P pont (fekete gömbként), aminek Descartes-koordinátái megközelítőleg (1,26; -0,78; 1,34). Az elliptikus kúpok a gömböt gömbi kúpszeletekben metszik

A kúpkoordináták egy ortogonális háromdimenziós koordináta-rendszert alkotnak, melynek koordinátafelületei origó középpontú gömbök, illetve elliptikus kúpok két, egymásra merőleges családja. Egy kúp és egy gömb metszete gömbi kúpszelet. A kúpkoordináták a polárkoordináta-rendszer egyik térbeli általánosítása.

Alap definíciók

Legyenek egy pont Descartes-koordinátái ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} , és adva legyenek a b , c {\displaystyle b,c} paraméterek, ahol 0 < b {\displaystyle 0<b} és 0 < c . {\displaystyle 0<c.} Ekkor az ( r , μ , ν ) {\displaystyle (r,\mu ,\nu )} kúpkoordináták definiálhatók, mint:

x = r μ ν b c {\displaystyle x={\frac {r\mu \nu }{bc}}}
y = r b ( μ 2 − b 2 ) ( ν 2 − b 2 ) ( b 2 − c 2 ) {\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}}
z = r c ( μ 2 − c 2 ) ( ν 2 − c 2 ) ( c 2 − b 2 ) {\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}}

A koordinátákra ezeket a megkötéseket szokták tenni:

ν 2 < c 2 < μ 2 < b 2 . {\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}

A konstans r {\displaystyle r} -hez tartozó felületek origó középpontú gömbök:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}

míg a többi koordinátához tartozó koordinátafelületek végtelen elliptikus kúpok:

x 2 μ 2 + y 2 μ 2 − b 2 + z 2 μ 2 − c 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}

és

x 2 ν 2 + y 2 ν 2 − b 2 + z 2 ν 2 − c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.}

Ebben a koordináta-rendszerben Laplace egyenlete és a Helmholtz-egyenlet is szétválasztható.

Skálázási tényezők

Az r {\displaystyle r} -hez tartozó skálázási tényező hr = 1, mint a gömbkoordinátáknál. A többi koordináta skálázási tényezői:

h μ = r μ 2 − ν 2 ( b 2 − μ 2 ) ( μ 2 − c 2 ) {\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}

és

h ν = r μ 2 − ν 2 ( b 2 − ν 2 ) ( c 2 − ν 2 ) . {\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.}

Források

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 659. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 183–184. o. (1956) 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 179. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 991–100. o. (1967) 
  • Arfken G. Mathematical Methods for Physicists, 2nd, Orlando, FL: Academic Press, 118–119. o.. ASIN B000MBRNX4 (1970) 
  • Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 37–40 (Table 1.09). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Conical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.