Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)

A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

Legyen ${\displaystyle \mu }$ véges mérték ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$-en. Ekkor ${\displaystyle \mu }$ karakterisztikus függvénye egy

${\displaystyle \varphi _{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

komplex értékű függvény:

${\displaystyle \varphi _{\mu }(t):=\int _{\mathbb {R} }\exp(\mathrm {i} tx)\mathrm {d} \mu (x)}$

Ha ${\displaystyle \mu =P}$, akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó, és eloszlása ${\displaystyle P_{X}}$, akkor karakterisztikus függvénye

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (\exp(\mathrm {i} tX))}$.

Speciális esetek:

• Ha ${\displaystyle P_{X}}$-nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{X}(x)}$, akkor

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\exp(\mathrm {i} tx)\,\mathrm {d} x}$.

• Ha ${\displaystyle P_{X}}$-nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye ${\displaystyle p_{X}}$, akkor

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tx_{k})p_{X}(x_{k})}$.

Ha ${\displaystyle X}$ Poisson-eloszlású, akkor ${\displaystyle P_{X}}$ valószínűségi függvénye

${\displaystyle p_{\lambda }(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\quad {\text{ha}}\quad k\in \mathbb {N} }$.

A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tk){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(\lambda e^{it}\right)^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{\lambda (e^{it}-1)}}$

Ha ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, ${\displaystyle P_{Y}}$ valószínűségi függvénye

${\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

Ezzel

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\int _{0}^{\infty }e^{\mathrm {i} tx}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\mathrm {d} x=\lambda \int _{0}^{\infty }e^{x(\mathrm {i} t-\lambda )}\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -\mathrm {i} t}}}$

További példák majd táblázatban lesznek megadva.

Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel

${\displaystyle \left|e^{\mathrm {i} tx}\right|=1}$.

A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy

${\displaystyle \left|\varphi _{X}(t)\right|\leq \varphi _{X}(0)=1}$.

A ${\displaystyle \varphi _{X}}$ karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha ${\displaystyle X}$ eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz

${\displaystyle \varphi _{X}(-t)={\overline {\varphi _{X}(t)}}}$.

A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.

Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ függvény olyan, hogy:

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$
• konvex az ${\displaystyle [0,\infty )}$ félegyenesen, továbbá
• folytonos páros függvény,
• ${\displaystyle f(0)=1}$

Ekkor van valószínűségi mérték, aminek ${\displaystyle f}$ karakterisztikus függvénye.

Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha ${\displaystyle f}$ pozitív szemidefinit és ${\displaystyle f(0)=1}$.

${\displaystyle \varphi _{aX+b}(t)=e^{\mathrm {i} tb}\varphi _{X}(at)}$   minden valós ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \,.}$ számra.

Ha ${\displaystyle \varphi _{X}}$ integrálható, akkor ${\displaystyle X}$ sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t\,.}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{\mathrm {i} ^{k}}}}$   minden ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ természetes számra, ha ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|^{k})<\infty }$.

Speciálisan

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\,,}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=-\varphi _{X}''(0)\,.}$

Ha egy ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ esetén az ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|^{n})}$ várható érték véges, akkor ${\displaystyle \varphi _{X}}$ ${\displaystyle n}$-szer folytonosan differenciálható, és ${\displaystyle 0}$ körül Taylor-sorba fehthető:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{k!}}t^{k}+R_{n+1}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {(\mathrm {i} t)^{k}}{k!}}\operatorname {E} (X^{k})+R_{n+1}(t)\,.}$

Speciálisan, ha ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$ és ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=1}$:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1-{\frac {1}{2}}t^{2}+R_{3}(t)\quad {\text{ahol}}\quad \lim \limits _{t\rightarrow 0}{\frac {R_{3}(t)}{t^{2}}}=0\,.}$

Ha ${\displaystyle X_{1}}$ és ${\displaystyle X_{2}}$ független valószínűségi változók, akkor ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ karakterisztikus függvénye

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,,}$

mivel a függetlenség miatt

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} t(X_{1}+X_{2})}\right)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}\right)\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,.}$

Legyenek ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és ${\displaystyle N}$ szintén valószínűségi változó, aminek értékei ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$-ból kerülnek ki, és minden ${\displaystyle X_{i}}$-től független, ekkor

${\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

az ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{N}(t)}$ valószínűséggeneráló függvényéből és ${\displaystyle X_{1}}$ karakterisztikus függvényéből számítható:

${\displaystyle \varphi _{S}(t)=m_{N}(\varphi _{X_{1}}(t))}$.

Ha ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ valószínűségi változók, és ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\varphi _{Y}(t)}$ minden ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$-re, akkor ${\displaystyle X{\overset {d}{=}}Y}$, azaz ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.

Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{X_{n}}(t)=\varphi _{X}(t)}$ minden ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.

Eloszlás	${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ karakterisztikus függvény
Diszkrét eloszlások
Binomiális eloszlás ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left(pe^{\mathrm {i} t}+1-p\right)^{n}}$
Poisson-eloszlás ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poi} (\lambda )}$	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\lambda \left(e^{\mathrm {i} t}-1\right)}}$
Negatív binomiális eloszlás ${\displaystyle X\sim \operatorname {NegBin} (r,p)}$	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left({\frac {1-pe^{\mathrm {i} t}}{1-p}}\right)^{-r}}$
Abszolút folytonos eloszlások
${\displaystyle X\sim N(0,1)}$ Standard normális eloszlás	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$
${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ Normális eloszlás	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\mathrm {i} t\mu }e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$
${\displaystyle X\sim U(a,b)}$ Folytonos egyenletes eloszlás	${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {e^{\mathrm {i} bt}-e^{\mathrm {i} at}}{\mathrm {i} (b-a)t}}}$
${\displaystyle X\sim \;C(0,1)}$ Standard Cauchy-eloszlás	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-|t|}}$
${\displaystyle X\sim \;G(p,b)}$ Gamma-eloszlás	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left({\frac {b}{b-\mathrm {i} t}}\right)^{p}}$

Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })}$ ${\displaystyle \ell }$ dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(t)=\varphi _{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\operatorname {E} (e^{i\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\operatorname {E} \left(\prod _{j=1}^{\ell }e^{it_{j}X_{j}}\right)}$

az ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })}$ karakterisztikus függvénye, ahol ${\displaystyle \langle t,\mathbf {X} \rangle =\sum \limits _{j=1}^{\ell }t_{j}X_{j}}$ a skaláris szorzás.

Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint

${\displaystyle \varphi _{X}(f)=\operatorname {E} \left(\exp \left(i\int f\mathrm {d} X\right)\right)}$

ahol ${\displaystyle X}$ a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.

A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.

Egy ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ értékű ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó karakterisztikus függvénye ${\displaystyle m_{X}(t)=\operatorname {E} (t^{X})}$. Emiatt ${\displaystyle m_{X}(e^{it})=\varphi _{X}(t)}$.

Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye ${\displaystyle M_{X}(t):=\operatorname {E} (e^{tX})}$. Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor ${\displaystyle M_{iX}(t)=M_{X}(it)=\varphi _{X}(t)}$. A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.

• Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.