Kis elemszámú véges csoportok listája

A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.

A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve

• 1 jelöli a csoport egységelemét
• Tetszőleges pozitív egész n-re ${\displaystyle Z_{n}}$ jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját.
• Tetszőleges ${\displaystyle n>2}$ egész számra ${\displaystyle D_{n}}$ jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját.
• Tetszőleges pozitív egész n-re ${\displaystyle S_{n}}$ jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és ${\displaystyle A_{n}}$ jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját.
• ${\displaystyle V}$ jelöli a Klein-csoportot; ${\displaystyle Q_{8}}$ jelöli a kvaterniócsoportot.

A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:

Tetszőleges n-re ${\displaystyle Z_{n},}$ az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.

Ha ugyanis ${\displaystyle G}$ p elemű csoport és ${\displaystyle g\in G}$ és ${\displaystyle g\neq 1}$, akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így ${\displaystyle G=\{g,g^{2},g^{3},\dots ,g^{p}=1\}}$, azaz ${\displaystyle G=Z_{p}}$.

Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.

Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a ${\displaystyle Z_{2}}$.

Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a ${\displaystyle Z_{3}}$.

Négyelemű csoportból kettő létezik: ${\displaystyle Z_{4}}$ és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha ${\displaystyle G}$ négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a ${\displaystyle G=Z_{4}}$. Ha nincs, akkor ${\displaystyle G}$ mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt ${\displaystyle G}$ izomorf a Klein-csoporttal.

Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a ${\displaystyle Z_{5}}$.

A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a ${\displaystyle Z_{6}}$ ciklikus csoport és az ${\displaystyle S_{3}}$ szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.

Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a ${\displaystyle Z_{7}}$.

A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a ${\displaystyle Z_{8},D_{4},Q_{8}}$ csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg ${\displaystyle Z_{8}}$ kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).

Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a ${\displaystyle Z_{11}}$.

Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a ${\displaystyle Z_{13}}$.

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7