Kis elemszámú véges csoportok listája
A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.
Jelölések
A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve
- 1 jelöli a csoport egységelemét
- Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját.
- Tetszőleges egész számra jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját.
- Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját.
- jelöli a Klein-csoportot; jelöli a kvaterniócsoportot.
Alapvető tények
A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:
Minden pozitív egész n-re van n elemű csoport
Tetszőleges n-re az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.
Ha p prímszám, akkor csak egy p elemű csoport van
Ha ugyanis p elemű csoport és és , akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így , azaz .
Kis elemszámú véges csoportok
Egyelemű csoport
Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.
Kételemű csoport
Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a .
Háromelemű csoport
Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a .
Négyelemű csoport
Négyelemű csoportból kettő létezik: és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a . Ha nincs, akkor mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt izomorf a Klein-csoporttal.
Ötelemű csoport
Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a .
Hatelemű csoport
A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a ciklikus csoport és az szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.
Hételemű csoport
Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a .
Nyolcelemű csoport
A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).
Kilencelemű csoport
Tízelemű csoport
Tizenegy elemű csoport
Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a .
Tizenkét elemű csoport
Tizenhárom elemű csoport
Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a .
Tizennégy elemű csoport
Tizenöt elemű csoport
Források
- Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
- Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7
![]() | Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |