Kvaterniócsoport

Kvaterniócsoportnak nevezzük (és rendszerint Q8-cal jelöljük) azt a nyolcelemű csoportot, amelyet az alábbi generátorok és definiáló relációk határoznak meg:

⟨ i , j , k ∣ i 2 = j 2 = k 2 = i j k ⟩ {\displaystyle \langle i,j,k\mid i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk\rangle }

Az egységelemet szokás szerint 1 {\displaystyle 1} jelöli, i 2 = j 2 = k 2 = i j k {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk} szokásos jelölése − 1 {\displaystyle -1} , és az i 3 , j 3 , k 3 {\displaystyle i^{3},j^{3},k^{3}} elemeket rendre a − i , − j , − k {\displaystyle -i,-j,-k} szimbólumokkal jelöljük. (A kvaterniócsoportban nincs definiálva az összeadás, tehát a mínuszjelek itt nem az ellentettképzést jelölik, csak puszta szimbólumok. Azonban a csoport beágyazható a kvaterniók algebrájába (Q8 a négy bázis-egységvektor által generált szorzáscsoport), és itt a mínuszjeles elemek éppen egybeesnek a bázis-egységvektorok ellentettjeivel.

A kvaterniócsoport tehát olyan nyolcelemű csoport, amelyet az 1 , − 1 , i , − i , j , − j , k , − k {\displaystyle 1,-1,i,-i,j,-j,k,-k} elemek alkotnak, ahol 1 az egységelem, ( − 1 ) 2 = 1 {\displaystyle (-1)^{2}=1} és az összes többi elem a − 1 {\displaystyle -1} négyzetgyöke. ( − 1 ) i = − i , ( − 1 ) j = − j , ( − 1 ) k = − k {\displaystyle (-1)i=-i,(-1)j=-j,(-1)k=-k} , továbbá i j = k , j i = − k , j k = i , k j = − i , k i = j , i k = − j {\displaystyle ij=k,ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j} . Nem kommutatív.

A kvaterniócsoportot William Rowan Hamilton fedezte fel a 19. században.

Cayley-táblázat

A kvaterniócsoport szorzótáblája a következő:

1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1

Tekintve, hogy a kvaterniócsoport nem kommutatív, lényeges, hogy a fenti táblázatban a bal szélső oszlopban lévő elemmel szorzunk balról, és a legfelső sorban lévő elemmel szorzunk jobbról.

Alapvető tulajdonságok

A kvaterniócsoport

  • nem kommutatív ( i j = k , j i = − k ) {\displaystyle ij=k,ji=-k)} ;
  • centruma az {1, -1} kételemű csoport;
  • feloldható (a négyelemű részcsoportok normálisak és ciklikusak, így maguk is feloldhatók);
  • metaciklikus ( Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} -nek Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} -vel való bővítése);
  • Frattini-részcsoportja Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} ;
  • Fibonacci-csoport;
  • karaktertáblázata megegyezik a nyolcelemű diédercsoport karaktertáblájával.

Analógia a vektoriális szorzattal

A háromdimenziós euklideszi tér bázis-egységvektorait a szokásos módon i-vel, j-vel és k-val jelölve, ezek vektoriális szorzása analóg módon viselkedik a kvaterniócsoportban érvényes szorzási szabályokkal:

i j = k , j i = − k , j k = i , k j = − i , k i = j , i k = − j . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}}

Források

  • Vipul Naik: Quaternion group. Groupprops. (Hozzáférés: 2013. november 1.)