Mértéktér

A mértéktér egy olyan matematikai fogalom, melynek segítségével a méréseket lehet értelmezni matematikai szigorúsággal. A mögöttes motiváció tulajdonképpen az integrál problémáit tartalmazza, így a két fogalom fejlődése kéz a kézben haladt. Bár a nevük hasonló, de a mértékterek és a metrikus terek között elvi különbség van, jelesül, hogy a metrika az alaphalmaz elempárjait, a mérték pedig a részhalmazait jellemzi.

Mértéktérnek nevezünk egy ${\displaystyle (M,{\mathcal {A}},\mu )}$ hármast, ha ${\displaystyle M}$ halmaz, ${\displaystyle \mu }$ mérték felette és ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ egy σ-algebrája. Ekkor ${\displaystyle \mu (A)}$-t az ${\displaystyle A}$ halmaz mértékének nevezzük. Ezzel kapcsolatban lehet a mértékterek néhány jellemzőjét is megadni:

• Ha ${\displaystyle \mu (M)}$ véges, akkor a mértékteret végesnek nevezzük.
• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ σ-véges, ha létezik olyan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-beli halmazrendszer, aminek minden eleme véges és egyesítése ${\displaystyle A}$
• Ha ${\displaystyle M}$ σ-véges, akkor a mértékteret is σ-végesnek nevezzük.
• A mértéktér teljes, ha minden 0 mértékű halmaz minden részhalmaza mérhető.

A mértékterek fogalmát lehet általánosítani, ha a mértéket egy σ-additív, ${\displaystyle N}$ normált térbe ható vektorfüggvénnyel helyettesítjük. Ekkor a ${\displaystyle (M,{\mathcal {A}},N,\mu )}$ négyest vektormértéktérnek nevezzük.

• A valós számok tetszőleges intervalluma a rész-intervallumaiból álló σ-algebrával ellátva a Lebesgue-mértékkel
• Események egy ${\displaystyle E}$ halmaza a hozzátartozó ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ eseményalgebrával és a valószínűségi mértékkel (${\displaystyle P:{\mathcal {E}}\to [0,1]}$ és ${\displaystyle P(E)=1}$)

• dr. Tómács Tibor: Mértékelmélet (Jegyzet, Eger, 2011.)
• Kristóf János: Az analízis elemei (Jegyzet, ELTE Budapest, 1995)
• Bronstejn - Szemengyajev - Musiol - Mühlig: Matematikai kézikönyv (TypoTEX, 2000) ISBN 963-9132-59-4