Mercator-sor

A matematikában a Mercator-sor – más néven Newton–Mercator-sor – a természetes logaritmus Taylor-sora:^[1]

${\displaystyle \ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .}$

Összegzéses (szummázás) jelöléssel:

${\displaystyle \ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}$

A sorozat a természetes logaritmushoz (1-gyel eltolva) konvergál, ha –1 < x ≤ 1.

Ezt a sort egymástól függetlenül fedezte fel Nicholas Mercator, Isaac Newton, és Gregory Saint-Vincent. Mercator publikálta először, 1668-ban, a ‘Logarithmo-technica’ című tanulmányában, ezért róla nevezték el a sort.

A sor a Taylor-elméletből származtatható, induktívan az lnx függvény n-edik deriválásából, x=1 –nél, melynek kezdete:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$

vagy kezdődhet egy véges mértani sorozattal ((t ≠ –1):

${\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}$

melyből:

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}$

ezt követi:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt}$

és tagonkénti integrálással

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.}$

ha –1 < x ≤ 1, és a maradék tag tarta 0-hoz, míg ${\displaystyle n\to \infty }$. Ez a kifejezés iteratív módon is integrálható k-szor:

${\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}$

ahol

${\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}$

és

${\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}$

melyek x polinomjai

x=1 esetén a Mercator-sor egy harmonikus sor:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}$

A komplex hatvány sorozat ${\displaystyle z\,-\,{\frac {z^{2}}{2}}\,+\,{\frac {z^{3}}{3}}\,-\,{\frac {z^{4}}{4}}\,+\,\cdots }$ ln(1 + z) Taylor-sora, ahol ln a komplex logaritmus egy ágára utal. Ez egy konvergáló sorozat egy nyílt tartományon belül ${\displaystyle |z|<1}$, és a ${\displaystyle |z|=1}$ jellemzőjű körön, kivéve a ${\displaystyle z=-1}$ (Abel-teszt miatt), és a konvergencia egyenletes minden zárt körön, ahol a sugár szigorúan kisebb mint 1.

• Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex. 2011. ISBN 978 963 279 300 9  

• Természetes logaritmus
• Komplex logaritmus
• Konvergencia
• Taylor-sor
• Abel-teszt
• http://mathworld.wolfram.com/MercatorSeries.html
• http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html