Nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Prolate_spheroidal_coordinates.png/325px-Prolate_spheroidal_coordinates.png)
A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, mely egy kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszerből származtatható úgy, hogy a koordináta-rendszert a fókuszokat összekötő szimmetriatengely körül forgatjuk meg. A másik szimmetriatengely körüli forgatás lapított ellipszoid koordináta-rendszert eredményez. Mindkettő tekinthető az ellipszoid koordináta-rendszer egy speciális esetének, ahol két tengely hossza megegyezik.
A lapított koordináta-rendszer hasznos olyan differenciálegyenletek megoldásában, ahol a peremfeltételeket egy nyújtott ellipszoid vagy egy kétköpenyű forgáshiperboloid mentén határozzák meg. Ilyen rendszer alakul ki egy erőtérben, mint amilyet két központ produkál; ezek állnak a fókuszpontokban. Erre példa egy elektron hullámfüggvényének meghatározása két pozitívan töltött mag közelében, mint például a H2+ összetett ionban. A fókuszpontban állhatnak vékony elektródvégek is, az ezek által létrehozott erőtér szerkezete így meghatározható. További példák: egy szakasz (μ = 0) erőtere, vagy egy egyenes, amiből hiányzik egy szakasz. A sokelektronos kétatomos molekulák általános elektronszerkezete is kiváló pontossággal megismerhető a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer segítségével.[1]
Definíció
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/ProlateSpheroidCoord.png/360px-ProlateSpheroidCoord.png)
A legtöbbször használt nyújtott ellipszoid koordináta-rendszert a koordinátákkal látják el:
ahol nemnegatív valós szám, és . A azimut a szakasz eleme.
A
trigonometrikus azonosság szerint a konstans -höz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, hiszen ellipszisekből keletkeztek azok fókuszait összekötő egyenesek körüli forgatással. Hasonlóan, a
hiperbolikus-trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans -jű koordinátafelületek forgáshiperboloidok.
A pontokban elhelyezkedő fókuszoktól mért távolság:
Alternatív definíció
A nyújtott elliptikus koordináta-rendszer esetén létezik egy alternatív definíció is a koordinátákkal, ahol és . Itt a konstans -hoz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, míg a konstans koordinátafelületei teljes forgáshiperboloidok. A koordináta az [−1, 1] intervallum eleme, míg .
A és a koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az és fókuszoktól mért távolsággal. Bármely pontra a fókuszoktól mért távolság összege a összeg , míg a távolságok különbsége . Így az -től mért távolság , míg az -től vett távolság . Ez alapján kapjuk a következő összefüggéseket a , és koordinátákra:
Szemben a megfelelő lapított szferoid koordinátákkal, a (σ, τ, φ) koordináta-rendszer nem elfajult; más szóval, bijektíven megfeleltethető a Descartes-koordinátákkal:
Alternatív skálázási tényezők
Az alternatív koordináták skálázási tényezői:
míg az azimut skálázási tényezője
Így az infinitezimális térfogatelem:
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Ahogy a gömbkoordináták esetén, Laplace egyenlete megoldható a változók szétválasztásával. A megoldások pontosan a nyújtott ellipszoid harmonikus függvények, melyeket kényelmes akkor használni, ha a peremfeltételek a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy koordinátafelületén vannak megadva.
Jegyzetek
- ↑ (2019. május 21.) „A review on non-relativistic, fully numerical electronic structure calculations on atoms and diatomic molecules”. Int. J. Quantum Chem. 119, e25968. o. DOI:10.1002/qua.25968.
Források
- Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 661. o. (1953) Uses ξ1 = a cosh μ, ξ2 = sin ν, and ξ3 = cos φ.
- Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
- Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity, 3rd, New York: McGraw-Hill (1968)
- Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 97. o. (1967) Uses coordinates ξ = cosh μ, η = sin ν, and φ.
- Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 177. o. (1961) Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
- The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 180–182. o. (1956) Similar to Korn and Korn (1961), but uses colatitude θ = 90° - ν instead of latitude ν.
- Prolate Spheroidal Coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer Verlag, 28–30 (Table 1.06). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7 Moon and Spencer use the colatitude convention θ = 90° − ν, and rename φ as ψ.
- Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics), 2nd, New York: Pergamon Press, 19–29. o. (1984). ISBN 978-0-7506-2634-7 Treats the prolate spheroidal coordinates as a limiting case of the general ellipsoidal coordinates. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Prolate spheroidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.