Papposz-tétel

A Papposz-tétel a projektív geometria fontos tétele. Azt mondja ki, hogy ha egy egyenesen felveszünk három pontot, ${\displaystyle A}$-t, ${\displaystyle B}$-t és ${\displaystyle C}$-t, és egy másik egyenesen is felveszünk három pontot, ${\displaystyle A'}$-t, ${\displaystyle B'}$-t és ${\displaystyle C'}$-t, akkor az ${\displaystyle AB'}$ és az ${\displaystyle A'B}$ egyenes metszete, a ${\displaystyle BC'}$ és a ${\displaystyle B'C}$ egyenes metszete meg az ${\displaystyle AC'}$ és az ${\displaystyle A'C}$ metszete egy egyenesre esik.

A tétel a testre épített projektív geometriákban teljesül. Ha a koordináták más ferdetestből valók, akkor nem érvényes.^[1] A Pascal-tétel speciális esete, ahol a kúpszelet két egyenesre redukálódik.

Duálisan, ha ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ és ${\displaystyle c}$ egy ponton mennek át, és ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b'}$ és ${\displaystyle c'}$ is egy ponton mennek át, akkor az ${\displaystyle a\cap b'}$ pontot az ${\displaystyle a'\cap b}$ ponttal összekötő egyenes, a ${\displaystyle b\cap c'}$ pontot a ${\displaystyle b'\cap c}$ ponttal összekötő egyenes meg a az ${\displaystyle a\cap c'}$ pontot az ${\displaystyle a'\cap c}$ ponttal összekötő egyenes egy ponton megy át.

A Papposz-konfigurációt olyan egyenesek és pontok alkotják, amik a tételben szerepelnek. 9 pontot, 9 egyenest tartalmaz, és önduális. Illeszkedési gráfja egy 18 csúcsú és 27 élű távolságreguláris páros gráf.

A Papposz-tétel és duálisának a következő ekvivalens megfogalmazásai ismertek:

• Ha egy hatszög csúcsai felváltva két egyenes valamelyikére illeszkednek, akkor a szemközti oldalpárok metszetei egy egyenesre illeszkednek.^[2]
• Tekintsük a következő mátrixot:

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\X&Y&Z\end{Vmatrix}}}$

Ha ebben a mátrixban az első két sor és a hat diagonális egy egyenesre illeszkedik, akkor a harmadik sor is. Vagyis, ha ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle A'B'C'}$, ${\displaystyle AB'Z}$, ${\displaystyle BC'X}$, ${\displaystyle CA'Y}$, ${\displaystyle XB'C}$, ${\displaystyle YC'A}$, és ${\displaystyle ZA'B}$ egyenesek, akkor ${\displaystyle XYZ}$ is egyenes. A megfordításához az egyenesek vonalkoordinátáit kell beírni.^[3]

• Adva legyen két egyenes, rajtuk három-három kijelölt ponttal. Ha ezeket párba állítjuk, akkor a nem párba állított pontokat összekötő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre esnek.^[4]
• Ha ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle CD}$ és ${\displaystyle EF}$ egy ponton mennek át, és ${\displaystyle DE}$, ${\displaystyle FA}$ és ${\displaystyle BC}$ is egy ponton mennek át, akkor ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$ és ${\displaystyle CF}$ is egy ponton mennek át.^[3]

A Papposz-tétel bizonyítása ekvivalens a duálisával. Ehhez koordinátageometriai eszközöket használunk.

Válasszuk a koordináta-rendszert úgy, hogy C=(1,0,0), C'=(0,1,0), X=(0,0,1), A=(1,1,1) legyen. Ekkor AC, AC', AX egyenlete: x_2=x_3, x_1=x_3, x_2=x_1. Ekkor B=(p,1,1), B'=(1,q,1), Y=(1,1,r), ahol p, q, r nullelemtől és egységelemtől különböző testelemek. Ekkor XB, C'B', CY egyenletei rendre x_1=px_2, x_2=qx_3, x_3=rx_1. Ezek akkor és csak akkor mennek át egy ponton, ha pqr=1. A feltétel szerint CB', C'B és XY egy ponton mennek át, ha x_2=qx_1, x_1=px_3, x_3=rx_2 és qpr=1. Mivel a test kommutatív, ezért qpr=pqr=1.

A bizonyítás nem működik kommutativitás nélkül. Felvetődik a kérdés, hogy nincs-e más bizonyítás, ami kiterjeszti a tétel érvényességét más síkokra is. Gerhard Hessenberg német matematikus belátta, hogy a Papposz-tételből levezethető a Desargues-tétel. Általában, a Papposz-tétel ekvivalens azzal, hogy a projektív geometria kommutatív testre épített. Nem teljesül nem kommutatív ferdetestekre épített terekben, vagy nem Desargues-síkokon.

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0
• Whicher, Olive (1971), Projective Geometry, Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4