A parabolikus hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A piros parabolikus henger megfelel a σ=2 koordinátának, míg a sárga parabolikus henger a τ=1 értékhez tartozik. A kék sík a z=2 síkja. Ezek a felületek a P pontban metszik egymást, melynek Descartes-koordinátái (2, -1.5, 2)
A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer a matematikában. A kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszerből származtatható, melyet egy harmadik, annak síkjára merőleges harmadik koordinátával egészít ki. Így koordinátafelületei konfokális parabolikus hengerek. Több alkalmazásuk is van, például az élek potenciálelméletében.
Definíciók
Parabolikus koordináta-rendszer konstans σ és τ koordinátagörbékkel és az x és y irányú koordinátaegyenesekkel. Ezeket a koordinátákat a z-tengely irányából vetítve látjuk, így ez a diagram a z koordináta bármely értékére érvényes
A további differenciáloperátorok kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egységvektorai kifejezve a Descartes-koordináta-rendszer egységvektoraival:
Harmonikus függvények
Mivel az összes konstans σ, τ és z értékhez tartozó felület másodfokú felület, Laplace egyenlete szétválasztható a koordináta-rendszerben. A változók szétválasztásával Laplace egyenlete a következő alakba írható:
Osztva V-vel:
Mivel a Z egyenlet elválasztható a többitől, azért:
ahol m konstans. A Z(z) megoldása:
Behelyettesítve −m2-et -be, Laplace egyenlete a következő alakot ölti:
Most leválaszthatjuk az S és a T függvényeket, és bevezetünk egy újabb konstanst, n2-et. Nyerjük, hogy:
Így kapjuk a parabolikus henger harmonikusokat:
Az (m, n) harmonikus függvényei a megoldások szorzatai. A kombináció csökkenti a konstansok számát, és Laplace egyenletének megoldása írható, mint:
Alkalmazások
A parabolikus hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenletének és a Helmholtz-egyenletnek megoldásában, mivel így a differenciálegyenletek szétválaszthatókká válnak. Egy példa egy félig végtelen vékony vezető lemez elektromos mezeje.
Források
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 658. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 186–187. o. (1956)
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 181. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961)
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 96. o. (1967)
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 21–24 (Table 1.04). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2
MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Parabolic cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.