A kalkulusban a Taylor-tétel egy módszert ad arra miként lehet közelítést adni egy n-ed fokú polinommal bármely függvényre egy tetszőlegesen kiválasztott "a" kezdőpontból kiindulva. A kezdőponttól távolodva a közelítés egyre pontatlanabb lesz, a pontatlanság mértékére egy R maradéktagból következtethetünk.
Taylor tétel egyváltozós valós értékekre
Ha az
függvény "
"-szer differenciálható az "
" pontban" akkor:
Az
maradék egzakt "Integrál" alakja:
a maradék középértékes "Lagrange" féle alakja:
ahol "
" az (
,
) intervallumon belül van valahol.
a maradék középértékes "Cauchy" féle alakja:
, ahol "
" az (
,
) intervallumon belül van valahol.
Bizonyítás
Legyen az F függvény meghatározva így:
A függvény "a" és "x" pontbeli értékeiből adódik:
A függvény deriváltjaként
egyszerúsítés után egy rövidebb formát kapunk:
vagyis F kifejezhető a következő határozatlan integrállal is:
amit a fentiekbe behelyettesítve: kapjuk a Taylor tétel Integtrál alakját:
Lagrange féle maradék
A Cauchy-féle középértéktételt
alkalmazva az
és
függvényekre :
kapjuk a Lagrange féle maradékot:
ahol "
" az (
,
) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.
Cauchy féle maradék
A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az
és
függvényekre hasonlóan számolva mint a Lagrange maradéknál,
kapjuk a Cauchy féle maradékot:
ahol "
" az (
,
) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.
A maradék közelítő értéke
A Cauchy-féle középértéktételt
alkalmazva az
és
függvényekre az (a,x) intervallumon:
kapjuk a maradék egy más fajta alakját:
mejnek segítségvel megadható a maradék közelítő értéke amikor "
" tart a végtelenbe és
az (a,x) intervallumon:
ahol