Bentuk tak tentu

Dalam kalkulus dan cabang lain analisis matematika, batasan yang melibatkan kombinasi aljabar fungsi dalam variabel independen sering kali dapat dievaluasi dengan mengganti fungsi; jika ekspresi yang diperoleh setelah substitusi ini tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan batas aslinya, maka dikatakan menganggap file Bentuk tak tentu. Lebih khusus lagi, bentuk tak tentu adalah ekspresi matematika yang melibatkan nilai ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ dan ${\displaystyle \infty }$, diperoleh dengan menerapkan teorema limit aljabar dalam proses mencoba menentukan nilai limit, which gagal untuk membatasi nilai limit tersebut pada satu nilai tertentu dan dengan demikian belum menentukan nilai limit tersebut.^[1][2] Istilah ini awalnya diperkenalkan oleh murid Cauchy Moigno di pertengahan abad ke-19.

Ada tujuh bentuk tak tentu yang biasanya dipertimbangkan dalam literatur:^[2]

${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ dan }}\infty ^{0}.}$

Contoh paling umum dari bentuk tak tentu terjadi saat menentukan batas rasio dua fungsi, di mana kedua fungsi ini cenderung nol dalam batas, dan disebut sebagai "bentuk tak tentu dari ${\displaystyle 0/0}$". Contohnya, sebagai ${\displaystyle x}$ pendekatan nilai ${\displaystyle 0}$, rasio dari ${\displaystyle x/x^{3}}$, ${\displaystyle x/x}$, dan ${\displaystyle x^{2}/x}$ saat menentukan ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle 1}$, dan ${\displaystyle 0}$ dari nilai masing-masing. Dalam setiap kasus, jika batas pembilang dan penyebut diganti, ekspresi yang dihasilkan adalah nilai ${\displaystyle 0/0}$, yang tidak ditentukan. Dengan cara berbicara yang santai, ${\displaystyle 0/0}$ dapat menerima nilai-nilainya ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, atau ${\displaystyle \infty }$, dan mudah untuk membuat contoh serupa yang batasannya adalah nilai tertentu.

Jadi, mengingat bahwa dua fungsi ${\displaystyle f(x)}$ dan ${\displaystyle g(x)}$ keduanya mendekat ${\displaystyle 0}$ sebagai ${\displaystyle x}$ mendekati beberapa nilai limit ${\displaystyle c}$, fakta itu saja tidak memberikan informasi yang cukup untuk mengevaluasi limit

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

Tidak setiap ekspresi aljabar yang tidak terdefinisi sesuai dengan bentuk tak tentu. Contohnya ekspresi ${\displaystyle 1/0}$ tidak ditentukan sebagai bilangan real tetapi tidak sesuai dengan bentuk tak tentu, karena batas apa pun yang memunculkan bentuk ini akan menyimpang hingga tak terhingga.^[3]

Ekspresi yang muncul dengan cara lain selain dengan menerapkan teorema aljabar batas dapat mengambil bentuk yang sama sebagai salah satu bentuk tak tentu. Namun, tidaklah tepat menyebut ungkapan ini sebagai "bentuk tak tentu" di luar konteks penentuan batas. Kasus yang paling umum adalah ${\displaystyle 0/0}$, yang mungkin, misalnya, muncul dari penggantian ${\displaystyle 0}$ dari ${\displaystyle x}$ dalam persamaan ${\displaystyle f(x)=|x|/(|x-1|-1)}$. Ekspresi ini tidak terdefinisi, seperti pembagian dengan nol^[4] pada umumnya. Kasus lainnya adalah ekspresi ${\displaystyle 0^{0}}$. Apakah ekspresi ini dibiarkan tidak terdefinisi, atau ditentukan sama ${\displaystyle 1}$, tergantung pada bidang aplikasi dan mungkin berbeda antar penulis. Untuk lebih lanjut, lihat artikel Nol pangkat nol. Catat itu ${\displaystyle 0^{\infty }}$ dan ekspresi lain yang melibatkan tak terhingga bukan bentuk tak tentu.

Kata sifat tak tentu menyiratkan bahwa batas tidak ada, seperti yang ditunjukkan oleh banyak contoh di atas. Dalam banyak kasus, eliminasi aljabar, aturan L'Hôpital, atau metode lain dapat digunakan untuk memanipulasi ekspresi sehingga batas dapat dievaluasi.^[1]

Contohnya ekspresi ${\displaystyle x^{2}/x}$ dapat disederhanakan menjadi ${\displaystyle x}$ pada titik mana pun selain ${\displaystyle x=0}$. Jadi, batas ekspresi ini sebagai ${\displaystyle x}$ pendekatan ${\displaystyle 0}$ (yang hanya bergantung pada titik dekat ${\displaystyle 0}$, bukan pada ${\displaystyle x=0}$ diri sendiri) adalah batas ${\displaystyle x}$, yang mana ${\displaystyle 0}$. Sebagian besar contoh lain di atas juga dapat dievaluasi menggunakan penyederhanaan aljabar.

Ketika dua variabel ${\displaystyle \alpha }$ dan ${\displaystyle \beta }$ berkumpul ke nol pada titik yang sama dan ${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$, mereka disebut setara sangat kecil (equiv. ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$).

Apalagi jika variabel ${\displaystyle \alpha '}$ dan ${\displaystyle \beta '}$ seperti itu ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ dan ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$, then:

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Berikut ini bukti singkatnya:

Misalkan ada dua infinitesimals yang setara ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ and ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$.

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Untuk evaluasi bentuk tak tentu ${\displaystyle 0/0}$, seseorang dapat memanfaatkan fakta-fakta berikut tentang ekuivalen infinitesimal:^[5]

${\displaystyle x\sim \sin x,}$

${\displaystyle x\sim \arcsin x,}$

${\displaystyle x\sim \sinh x,}$

${\displaystyle x\sim \tan x,}$

${\displaystyle x\sim \arctan x,}$

${\displaystyle x\sim \ln(1+x),}$

${\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}$

${\displaystyle e^{x}-1\sim x,}$

${\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}$

For example:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$

Aturan L'Hôpital adalah metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu ${\displaystyle 0/0}$ dan ${\displaystyle \infty /\infty }$. Aturan ini menyatakan bahwa (dalam kondisi yang sesuai)

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

darimana ${\displaystyle f'}$ dan ${\displaystyle g'}$ adalah turunan dari ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$. (Perhatikan bahwa aturan ini tidak berlaku untuk ekspresi ${\displaystyle \infty /0}$, ${\displaystyle 1/0}$, dan seterusnya, karena ekspresi ini bukanlah bentuk tak tentu.) Turunan ini akan memungkinkan seseorang untuk melakukan penyederhanaan aljabar dan akhirnya mengevaluasi limit.

Aturan L'Hôpital juga dapat diterapkan ke bentuk tak tentu lainnya, pertama menggunakan transformasi aljabar yang sesuai. Misalnya untuk mengevaluasi formulir 0⁰:

${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$

Tabel berikut mencantumkan bentuk tak tentu yang paling umum, dan transformasi untuk menerapkan aturan l'Hôpital.

Bentuk tak tentu	Syarat-syarat	Transformasi menjadi nilai ${\displaystyle 0/0}$	Transformasi menjadi nilai ${\displaystyle \infty /\infty }$
00	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$