Integral Borwein

Dalam matematika, integral Borwein adalah integral dengan sifat tidak biasa yang pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan David Borwein dan Jonathan Borwein pada 2001.^[1] Integral Borwein melibatkan perkalian dari ${\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)}$, dimana fungsi sinc diperoleh dari ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$ untuk ${\displaystyle x}$ tidak sama dengan 0, dan ${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$.^[1][2]

Integral ini are remarkable for exhibiting apparent patterns that eventually break down. Berikut adalah contohnya.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

Pola ini berlanjut sampai dengan

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Pada langkah selanjutnya, polanya tidak lagi sama,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

Secara umum, integral serupa akan bernilai π2 saat bilangan 3, 5, 7… diganti dengan bilangan riil positif sedemikian sehingga jumlah invers perkalian mereka kurang dari 1.

Pada contoh di atas, 13 + 15 + … + 113 < 1, namun 13 + 15 + … + 115 > 1.

Dengan dimasukkan faktor tambahan ${\displaystyle 2\cos(x)}$, polanya dapat bertahan jauh lebih lama,^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

namun

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.3324\times 10^{-138}.}$

Pada kasus ini, 13 + 15 + … + 1111 < 2, namun 13 + 15 + … + 1113 > 2. Jawaban tepatnya dapat dihitung menggunakan rumus umum di bawah, namun pecahannya melibatkan dua bilangan bulat dengan 2736 digit.

Alasan the original and the extended series break down has been demonstrated dengan penjelasan matematis yang intuitif.^[4][5]