Kuantifikasi semestaJenis | Kuantor |
---|
Cabang | Logika matematika |
---|
Pernyataan | adalah benar ketika adalah benar untuk semua nilai dari . |
---|
Pernyataan dalam bentuk simbol | ![{\displaystyle \forall xP(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25873948fc98344950ea1b91f88dd52239cf9c87) |
---|
Dalam logika matematika, kuantifikasi semesta atau kuantifikasi universal adalah jenis kuantifikasi yang dapat diartikan sebagai "untuk semua" atau "untuk setiap". Kuantifikasi semesta menyatakan bahwa suatu predikat terpenuhi oleh setiap anggota universal of discourse. Dengan kata lain, kuantifikasi semesta adalah suatu predikat dari sifat atau relasi untuk setiap anggota domain. Hal ini menyatakan bahwa predikat dalam cakupan kuantifikasi semesta adalah benar untuk nilai variabel predikat.
Kuantifikasi semesta umumnya dilambangkan dengan huruf A terbalik (∀). Hal ini dapat dikaitkan dengan kuantor semesta, yang mana ketika simbol operator logika ini digunakan bersama dengan variabel predikat. Kuantor semesta dapat ditulis sebagai
. Kuantifikasi semesta berbeda dengan kuantifikasi eksistensial, jenis kuantifikasi yang hanya mengatakan bahwa sifat atau relasi berlaku untuk setidaknya satu anggota domain.
Kuantor universal diberi kode sebagai U+2200 ∀ for all dalam Unicode, dan diberi kode\forall
dalam markah LaTeX.
Notasi
Dalam logika simbolik, kuantor semesta diberi simbol
, sebuah huruf "A" terbalik, dengan Unicode U+2200. Simbol ini digunakan untuk mengartikan kuantifikasi semesta. Cara menggunakan simbol tersebut berawal dari Gerhard Gentzen pada tahun 1935, yang sejalan dengan notasi Giuseppe Peano
(sebuah huruf E terbalik) sebagai simbol kuantifikasi eksistensial.[1]
Sebagai contoh, jika
menyatakan predikat "
" dan
menyatakan himpunan bilangan asli, maka
adalah pernyataan (yang salah). Pernyataan ini dapat dibaca sebagai, "untuk semua bilangan asli
, berlaku
". Contoh yang serupa dengannya adalah: jika
menyatakan predikat "
adalah komposit", maka
adalah pernyataan (yang benar). Pernyataan ini dibaca, "untuk semua bilangan asli
, jika
komposit, maka
".
Sifat
Negasi
Negasi dari fungsi berkuantor semesta diperoleh dengan mengubah kuantor semesta menjadi kuantor eksistensial, dan kemudian memberi tanda negasi
pada rumus. Dengan kata lain,
ekuivalen dengan
.
Operator logika lainnya
Kuantor universal (dan eksistensial) untuk operator logika ∧, ∨, →, dan ↚ adalah sebagai berikut:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2182e0f2ede862a30b1871e166e36c2d10f218)
Sebaliknya, untuk penghubung logis ↑, ↓, ↛, dan ←, maka kuantifikasi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{asalkan }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdaa9ce6ad0894943e87ea1aa01bb15469950c4)
Aturan inferensi
Aturan inferensi adalah aturan yang membenarkan langkah-langkah logika, dimulai dari hipotesis sampai ke kesimpulan. Beberapa aturan-aturan tersebut memakai kuantor universal.
Instansiasi semesta menyimpulkan bahwa, jika diketahui bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, maka hal tersebut benar untuk sebarang anggota universal of discourse. Sifat-sifat ini dapat dinyatakan dengan lambang
dengan
menyatakan sebarang anggota universe of discourse.
Universal generalization menyimpulkan bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, jika benar untuk sebarang anggota universal of discourse. Untuk sebarang
, dapat dinyatakan dengan lambang
Anggota
harus sepenuhnya adalah sebarang. Jika tidak, maka logika tersebut berkata lain: jika
tidak sebarang, melainkan anggota khusus dari universal of discourse, maka
hanya menyiratkan kuantifikasi eksistensial dari fungsi proposisional.
Himpunan kosong
Berdasarkan konvensi, rumus
selalu benar untuk
manapun.
Universal closure
Universal closure dari rumus
menyatakan rumus tanpa variabel bebas yang diperoleh dengan menambahkan kuantor universal untuk setiap variabel bebas di
. Sebagai contoh, universal closure dari
ditulis
Lihat pula
- Kuantifikasi eksistensial
- Logika orde pertama
- Daftar simbol logika - untuk simbol Unicode ∀
Referensi
- ^ Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic". Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.
- Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
- Franklin, J. and Daoud, A. (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link) (ch. 2)
Pranala luar
Definisi kamus every di Wikikamus
Simbol logika umum
| | | | | | | ∀ kuantifikasi universal universal | | | | | | | |
|
Portal Filsafat Portal Matematika |