Matriks uniter
Dalam aljabar linear, matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks disebut uniter jika invers dirinya sama dengan transpos konjugatnya, . Secara formal, matriks uniter adalah matriks yang memenuhi dengan adalah matriks identitas. Dalam bidang fisika, khususnya mekanika kuantum, transpos konjugat dikenal sebagai adjoin Hermite dari suatu matriks dan disimbolkan dengan dagger (†), jadi persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai Versi analog dari matriks uniter pada lapangan bilangan real adalah matriks ortogonal. Matriks uniter memiliki peran penting dalam mekanika kuantum karena mereka tidak melestarikan (tidak mengubah) norma, dan akibatnya, juga melestarikan probability amplitudes.
Sifat
Matriks uniter dapat didefinisikan lewat banyak cara. Jika adalah matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:[1]
- adalah matriks uniter.
- adalah matriks uniter.
- terbalikkan, dengan invers .
- Kolom-kolom dari membentuk basis ortonormal dari terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, .
- Kolom-kolom dari membentuk basis ortonormal dari terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, .
- adalah suatu isometri terhadap norma yang biasa. Dengan kata lain, untuk sembarang , dengan .
- merupakan matriks normal (secara ekuivalen, ada suatu basis ortonormal yang dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari ) dengan nilai-nilai eigennya terletak pada lingkaran satuan.
Selain itu, sifat-sifat berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks uniter berukuran hingga:
- Untuk sembarang vektor kompleks dan , perkalian dengan akan mempertahankan hasil kali dalam kedua vektor tersebut; dengan kata lain, .
- juga merupakan matriks normal, karena .
- Sebagai akibat dari teorema spektral, dapat diagonalkan; dengan kata lain, serupa secara uniter dengan suatu matriks diagonal.. Hal ini mengartikan memiliki faktorisasi berbentuk , dengan berupa matriks uniter, dan berupa matriks diagonal dan uniter.
- .
- Ruang eigen dari bersifat ortogonal.
- dapat ditulis sebagai , dengan menyatakan eksponensiasi matriks, adalah unit imajiner, dan berupa matriks Hermite.
Untuk sembarang bilangan bulat nonnegatif , himpunan semua matriks uniter berukuran yang dilengkapi operasi perkalian matriks akan membentuk sebuah grup, yang dikenal sebagai grup uniter .
Konstruksi secara sederhana
Matriks uniter berukuran 2 × 2
Ekspresi umum dari suatu matriks uniter berukuran 2 × 2 adalah
yang bergantung pada empat parameter real, yakni fasa dari , fasa dari , magnitudo relatif antara dan , dan sudut and φ. Determinan dari matriks tersebut adalahGrup dari matriks uniter dengan dikenal dengan grup uniter spesial (special unitary group) .
Matriks juga dapat dituliskan dalam bentuk alternatif berikut:
yang, dengan memperkenalkan variabel dan , akan memiliki faktorisasi berbentuk:
Ekspresi tersebut memperjelas hubungan antara matriks uniter berukuran 2 × 2 dan matriks ortogonal dengan sudut θ. Bentuk faktorisasi lain adalah[2]
Matriks uniter juga memiliki beberapa faktorisasi matriks-matriks dasar.[3][4][5]
Referensi
- ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139020411. ISBN 9781139020411.
- ^ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and Its Applications. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795.
- ^ Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P., ed., "Quantum Gates", Explorations in Quantum Computing, Texts in Computer Science (dalam bahasa Inggris), London: Springer, hlm. 82, doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2, ISBN 978-1-84628-887-6, diakses tanggal 2021-05-14
- ^ Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
- ^ Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, Norman; Shor, Peter; Sleator, Tycho; Smolin, John A.; Weinfurter, Harald (1995-11-01). "Elementary gates for quantum computation". Physical Review A. American Physical Society (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv:quant-ph/9503016
. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN 1050-2947. , page 8
Pranala luar
- (Inggris) Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland.
- Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- "Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1". Stack Exchange. March 28, 2016.
- l
- b
- s
- (0,1)
- Alternatif
- Anti-diagonal
- Anti-Hermitian
- Anti-simetris
- Panah condong
- Bidiagonal
- Biner
- Bisimetris
- Diagonal balok
- Blok
- Blok segitiga
- Sentrosimetri
- Konferensi
- Hadamard kompleks
- Kopositif
- Dominan diagonal
- Ekuivalen
- Permutasi generalisasi
- Bilangan bulat
- Logis
- Monomial
- Nonnegatif
- Dipartisi
- Persimetris
- Polinomial
- Positif
- Kuarter
- Tanda
- Signatur
- Hermitian-miring
- Simetris-miring
- Garis langit
- Z
- Kompasi
- Konvergen
- Defektif
- Diagonalisasi
- Generalisasi-positif
- Stabilitas
- Hurwitz
- Stieltjes
- Congruent
- Involutori
- Generalisasi unimodular
- Penimbangan
- Idempoten atau Proyeksi
- Nilpoten
- Normal
- Ortogonal
- Singular
- Terbalikkan (nonsingular)
- Unimodular
- Unipoten
- Adjugat
- Tanda alternatif
- Augmenten
- Lingkaran
- Komutasi
- Kofunsi
- Derogasi
- Duplikasi
- Eliminasi
- Jarak Euklides
- Matriks fundamental (persamaan diferensial linear)
- Generator
- Geser
- Persamaan
- Centering
- Design
- Dispersion
- Doubly stochastic
- Fisher information
- Hat
- Precision
- Bernoulli
- Korelasi
- Kovariansi
- Stokastik (Markov)
- Adjacency
- Biadjacency
- Degree
- Incidence
- Seidel adjacency
- Skew-adjacency
- Edmonds
- Laplace
- Tutte
- Fundamental (computer vision)
- Fuzzy associative
- Irregular
- Overlap
- State transition
- Substitution
- Z (chemistry)
- Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
- Densitas
- Gamma
- Gell-Mann
- Hamilton
- S
- Jordan canonical form
- Matrix exponential
- Matrix representation of conic sections
- Perfect matrix
- Quaternionic matrix
- Bebas linear
- Bentuk eselon baris
- Invers semu
- Wronskian
- Daftar jenis matriks
- Kategori:Matriks