Calcoli algebrici
I calcoli algebrici sono determinati tipi di calcoli la cui risoluzione necessita dell'utilizzo di nozioni e teoremi dell'algebra. Essi sono presenti all'interno delle espressioni algebriche e permettono di trovarne le soluzioni. I calcoli algebrici differiscono dai calcoli aritmetici poiché utilizzano strutture algebriche al posto dei numeri, e operazioni algebriche al posto di operazioni aritmetiche.[1]
Calcolare quale numero sia il quadruplo del successivo del numero 5 equivale a svolgere un'espressione aritmetica, che in questo caso può essere riscritta come:
Se invece volessimo calcolare quale numero sia il doppio del successivo di un generico numero dovremmo scrivere un'espressione algebrica: che può essere risolta mediante calcoli algebrici.
Il calcolo algebrico è spesso conosciuto come calcolo letterale, in quanto si applica a tutte quelle espressioni in cui vi compaiano numeri e lettere, oppure soltanto lettere. In matematica le espressioni contenenti una parte letterale oltre a quella numerica vengono dette monomi e polinomi.
Monomi
- Si dice monomio l'espressione algebrica contenente solamente l'operazione di moltiplicazione.
- Alcuni esempi di monomi sono: oppure mentre: o non sono monomi.
- Due monomi si dicono simili tra loro quando hanno la stessa parte letterale. Esempio: e sono monomi simili in quanto possiedono la stessa parte letterale .
Polinomi
Si dice polinomio un’espressione algebrica ottenuta dalla somma tra monomi.
Un esempio di polinomio può essere:
Operazioni algebriche
Le operazioni algebriche che è possibile svolgere con monomi e polinomi sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
Addizione e sottrazione
- Due monomi possono essere sommati o sottratti tra di loro solamente se sono simili.
- Dalla somma o sottrazione di due monomi simili si ottiene un altro monomio con la stessa parte letterale.
Esempio 1:
Esempio 2:
Invece, quando si sommano o sottraggono più monomi che non sono tutti simili tra di loro, non si otterrà un monomio come risultato.
Esempio: in questo caso occorre sommare tra di loro i monomi con la stessa parte letterale, e il risultato sarà un polinomio.
A questo punto i due monomi non possono essere più sommati tra loro poiché hanno parti letterali diverse, perciò questo è il risultato dell'espressione algebrica.
Moltiplicazione
Consideriamo la seguente operazione algebrica: si tratta di una moltiplicazione tra due monomi.
Per calcolare il risultato è necessario tenere in considerazione alcune proprietà elementari dell'aritmetica: le proprietà commutativa, associativa e la prima proprietà delle potenze.
- Per la proprietà commutativa, nella moltiplicazione, cambiando l'ordine dei fattori (i due elementi da moltiplicare) il risultato non cambia, quindi:
- Per la proprietà associativa
- Per la prima proprietà delle potenze se la parte letterale è la stessa si possono sommare gli esponenti.
- Perciò applicando queste proprietà:
Invece, il prodotto tra due polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.
Esempio:
In questo caso bisogna tener presente la proprietà distributiva, per cui verrà distribuito tra i termini .
Divisione
Consideriamo la seguente operazione: Si tratta di una divisione tra due monomi scritta sotto forma di frazione.
Per risolverla si può eseguire la divisione tra le due parti numeriche e tra le due parti letterali:
Per arrivare a questo risultato bisogna però ricordare un'altra delle proprietà delle potenze, per cui se in una divisione due monomi aventi parte letterale nella forma , hanno la stessa base allora gli esponenti possono essere sottratti. Nel caso dell'esempio, per il fatto che gli esponenti 3 e 2 vengono sottratti, perciò che è l'esponente di .
La divisione tra polinomi è spiegata alla pagina: Divisione dei polinomi
Note
- ^ Fonte 1 (PDF), su crf.uniroma2.it.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)