Calcoli algebrici

I calcoli algebrici sono determinati tipi di calcoli la cui risoluzione necessita dell'utilizzo di nozioni e teoremi dell'algebra. Essi sono presenti all'interno delle espressioni algebriche e permettono di trovarne le soluzioni. I calcoli algebrici differiscono dai calcoli aritmetici poiché utilizzano strutture algebriche al posto dei numeri, e operazioni algebriche al posto di operazioni aritmetiche.^[1]

Calcolare quale numero sia il quadruplo del successivo del numero 5 equivale a svolgere un'espressione aritmetica, che in questo caso può essere riscritta come: ${\displaystyle 4\times (5+1)=4\times 6=24}$

Se invece volessimo calcolare quale numero sia il doppio del successivo di un generico numero ${\displaystyle n}$ dovremmo scrivere un'espressione algebrica: ${\displaystyle 2\times (n+1)}$ che può essere risolta mediante calcoli algebrici.

Il calcolo algebrico è spesso conosciuto come calcolo letterale, in quanto si applica a tutte quelle espressioni in cui vi compaiano numeri e lettere, oppure soltanto lettere. In matematica le espressioni contenenti una parte letterale oltre a quella numerica vengono dette monomi e polinomi.

• Si dice monomio l'espressione algebrica contenente solamente l'operazione di moltiplicazione.
• Alcuni esempi di monomi sono: ${\displaystyle 3abc}$ oppure ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)ab\left({\frac {4}{5}}\right)cd}$ mentre: ${\displaystyle 2\left({\frac {a}{b}}\right)}$ o ${\displaystyle 5+ab}$ non sono monomi.

• Due monomi si dicono simili tra loro quando hanno la stessa parte letterale. Esempio: ${\displaystyle 3a^{5}}$ e ${\displaystyle 4a^{5}}$ sono monomi simili in quanto possiedono la stessa parte letterale ${\displaystyle a^{5}}$.

Si dice polinomio un’espressione algebrica ottenuta dalla somma tra monomi.

Un esempio di polinomio può essere: ${\displaystyle 1+2ab-a^{2}b^{3}}$

Le operazioni algebriche che è possibile svolgere con monomi e polinomi sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

• Due monomi possono essere sommati o sottratti tra di loro solamente se sono simili.

• Dalla somma o sottrazione di due monomi simili si ottiene un altro monomio con la stessa parte letterale.

Esempio 1: ${\displaystyle 3a+5a=8a}$

Esempio 2: ${\displaystyle 4a^{2}b+6a^{2}b-8a^{2}b=2a^{2}b}$

Invece, quando si sommano o sottraggono più monomi che non sono tutti simili tra di loro, non si otterrà un monomio come risultato.

Esempio: ${\displaystyle 3a+3b+5a+6b-4a}$ in questo caso occorre sommare tra di loro i monomi con la stessa parte letterale, e il risultato sarà un polinomio.

${\displaystyle (3a+5a-4a)+(3b+6b)=4a+9b}$ A questo punto i due monomi non possono essere più sommati tra loro poiché hanno parti letterali diverse, perciò questo è il risultato dell'espressione algebrica.

Consideriamo la seguente operazione algebrica: ${\displaystyle 3a^{2}4a^{3}}$ si tratta di una moltiplicazione tra due monomi.

Per calcolare il risultato è necessario tenere in considerazione alcune proprietà elementari dell'aritmetica: le proprietà commutativa, associativa e la prima proprietà delle potenze.

• Per la proprietà commutativa, nella moltiplicazione, cambiando l'ordine dei fattori (i due elementi da moltiplicare) il risultato non cambia, quindi: ${\displaystyle 3a^{2}4a^{3}=4a^{3}3a^{2}}$
• Per la proprietà associativa ${\displaystyle 3a^{2}4a^{3}=3\times 4\times a^{2}a^{3}}$

• Per la prima proprietà delle potenze se la parte letterale è la stessa si possono sommare gli esponenti.
• Perciò applicando queste proprietà: ${\displaystyle 3a^{2}4a^{3}=3\times 4\times a^{2}a^{3}=12a^{5}}$

Invece, il prodotto tra due polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.

Esempio: ${\displaystyle (a^{2}-2a)(4a^{2}+a-3)}$

In questo caso bisogna tener presente la proprietà distributiva, per cui ${\displaystyle 4a^{2}+a-3}$ verrà distribuito tra i termini ${\displaystyle a^{2}-2a}$.

${\displaystyle (a^{2}-2a)(4a^{2}+a-3)=a^{2}(4a^{2}+a-3)-2a(4a^{2}+a-3)=4a^{4}+a^{3}-3a^{2}-8a^{3}-2a^{2}-6a=}$${\displaystyle 4a^{4}+a^{3}-3a^{2}-8a^{3}-2a^{2}-6a=4a^{4}-7a^{3}-5a^{2}-6a}$

Consideriamo la seguente operazione: ${\displaystyle {\frac {6a^{2}b^{3}}{2b^{2}}}}$ Si tratta di una divisione tra due monomi scritta sotto forma di frazione.

Per risolverla si può eseguire la divisione tra le due parti numeriche e tra le due parti letterali: ${\displaystyle {\frac {6a^{2}b^{3}}{2b^{2}}}={\frac {6}{2}}\times {\frac {a^{2}b^{3}}{b^{2}}}=3a^{2}b}$

Per arrivare a questo risultato bisogna però ricordare un'altra delle proprietà delle potenze, per cui se in una divisione due monomi aventi parte letterale nella forma ${\displaystyle a^{n}}$, hanno la stessa base ${\displaystyle a}$ allora gli esponenti ${\displaystyle n}$ possono essere sottratti. Nel caso dell'esempio, ${\displaystyle {\frac {b^{3}}{b^{2}}}=b}$ per il fatto che gli esponenti 3 e 2 vengono sottratti, perciò ${\displaystyle 3-2=1}$ che è l'esponente di ${\displaystyle b}$.

La divisione tra polinomi è spiegata alla pagina: Divisione dei polinomi

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