Campo con un elemento

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Il campo con un elemento, in matematica, è un oggetto che dovrebbe comportarsi in modo simile a un campo finito composto da un singolo elemento, se tale campo potesse esistere. Tale oggetto è indicato con ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ e, in inglese, è conosciuto anche come F-un (Fun significa bizzarro, divertente) per le sue caratteristiche anomale. Il nome campo con un elemento e la notazione ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ sono solo indicativi, poiché non esiste un campo con un singolo elemento nell'algebra astratta classica. Invece ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ fa riferimento all'idea teorica secondo la quale dovrebbe esserci un modo per sostituire insiemi e operazioni, i tradizionali elementi costitutivi dell'algebra astratta, con altri oggetti più flessibili. Sono state proposte molte teorie per ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$, ma non è chiaro quale di esse conferisca a ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ tutte le proprietà desiderate. In queste teorie non esiste ancora un campo con un singolo elemento. Esiste, invece, un oggetto simile a un campo, la cui caratteristica è avere un elemento.

${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ non può essere un campo, perché tutti i campi devono contenere due elementi distinti: l'elemento neutro additivo ${\displaystyle 0}$ e quello moltiplicativo ${\displaystyle 1.}$ Anche se questa restrizione fosse eliminata, l'anello con un elemento deve essere l'anello zero, che non si comporta come un campo finito. Invece, la maggior parte delle teorie proposte per ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ sostituisce l'intera algebra astratta. Oggetti matematici come spazi vettoriali e anelli dei polinomi possono essere riportati in queste nuove teorie definendo le loro proprietà astratte in modo analogo a quello classico. Ciò consente lo sviluppo dell'algebra commutativa e della geometria algebrica su nuove basi. Una delle caratteristiche peculiari delle teorie di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ è la seguente: queste nuove basi consentono più oggetti rispetto all'algebra astratta classica, una delle quali si comporta come un campo di caratteristica uno.

La possibilità di studiare le proprietà di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ fu originariamente suggerita nel 1956 da Jacques Tits.^[1] Tits suggerì un'analogia tra simmetrie nella geometria proiettiva e combinatoria dei complessi simpliciali collegando ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ alla geometria non commutativa e ad una possibile dimostrazione dell'ipotesi di Riemann. Sono state proposte molte teorie di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$, ma non è chiaro quale di esse garantisca a ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ le proprietà necessarie.

Nel 1957, Jacques Tits ha introdotto la teoria degli edifici, che mettono in relazione gruppi algebrici con complessi simpliciali astratti. Una delle ipotesi è una condizione di non banalità: se l'edificio dovesse essere un complesso simpliciale astratto ${\displaystyle n}$-dimensionale, e se ${\displaystyle k<n}$, allora ogni ${\displaystyle k}$-duplex dell'edificio sarebbe contenuto in almeno tre ${\displaystyle n}$ semplici. Ciò è analogo alla condizione della geometria proiettiva classica: una retta deve contenere almeno tre punti. Tuttavia, ci sono geometrie degeneri che soddisfano tutte le condizioni per essere una geometria proiettiva, tranne per il fatto che le rette ammettano solo due punti. Gli oggetti analoghi nella teoria degli edifici sono chiamati appartamenti. Gli appartamenti svolgono un ruolo così costituente nella teoria degli edifici che Tits ipotizzava l'esistenza di una teoria della geometria proiettiva in cui le geometrie degeneri avrebbero avuto la stessa importanza di quelle classiche. Questa geometria avrebbe avuto luogo, ha affermato, su un campo caratteristico.^[1] Usando questa analogia, è stato possibile descrivere alcune delle proprietà elementari di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$, ma non è stato possibile costruirlo.

Un'ispirazione separata per ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ è venuta dalla teoria dei numeri algebrica. La prova di Weil dell'ipotesi di Riemann per le curve su campi finiti è iniziata con una curva ${\displaystyle C}$ su un campo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{k}}$, ha preso il suo prodotto ${\displaystyle C\times _{\mathbb {F} _{k}}C}$ e quindi ne ha esaminato la diagonale. Se gli interi fossero una curva su un campo, la stessa dimostrazione proverebbe l'ipotesi di Riemann. Gli interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sono unidimensionali, il che suggerisce che possono essere una curva, ma non sono un'algebra su alcun campo. Una delle proprietà ipotizzate per ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ è che ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dovrebbe essere un'algebra su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$. Ciò consentirebbe di costruire il prodotto ${\displaystyle \mathbb {Z} \times _{\mathbb {F} _{1}}\mathbb {Z} }$ e si avrebbe la speranza che l'ipotesi di Riemann per ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ possa essere dimostrata allo stesso modo dell'ipotesi di Riemann per una curva su un campo finito.

Un altro punto di vista viene dalla geometria di Arakelov, in cui le equazioni diofantee sono studiate usando strumenti dalla geometria complessa. La teoria prevede complicati confronti tra campi finiti e numeri complessi. Qui l'esistenza di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ è utile per motivi tecnici.

Nel 1991, Alexander Smirnov aveva fatto alcuni passi verso la geometria algebrica su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$.^[2] Introdusse estensioni di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ e le ha usate per gestire la retta proiettiva ${\displaystyle P^{1}}$ su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$. I numeri algebrici furono trattati come mappe di questo ${\displaystyle P^{1}}$ e furono suggerite delle approssimazioni congetturali alla formula di Riemann-Hurwitz per queste mappe. Queste approssimazioni implicarono asserzioni molto profonde come la congettura abc. Le estensioni di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ in seguito furono indicate^[3] come ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ con ${\displaystyle q=1^{n}}$.

Nel 1993, Yuri Manin tenne una serie di lezioni sulle funzioni zeta in cui propose di sviluppare una teoria della geometria algebrica su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$.^[4] Suggerì che le funzioni zeta delle varietà su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ avrebbero avuto descrizioni molto semplici, e propose una relazione tra la K-teoria di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ e i gruppi di sfere omotopiche. Ciò ispirò diverse persone a tentare di costruire ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$. Nel 2000, Zhu propose che ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ fosse uguale a ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, tranne per il fatto che, la somma di uno e uno, fosse uno invece che zero.^[5] Deitmar suggerì di trovare ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ dimenticando la struttura additiva di un anello e concentrandosi sulla moltiplicazione.^[6] Toën e Vaquié costruirono sulla teoria di Hakim degli schemi relativi e definirono ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ usando categorie monoidali simmetriche.^[7] La loro costruzione fu successivamente dimostrata equivalente a quella di Deitmar da Vezzani.^[8] Nikolaj Durov costruì ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ come monade algebrica commutativa.^[9] Soulé lo costruì usando algebre sui numeri complessi e funtori da categorie di determinati anelli.^[10] Borger usò la discesa per costruirlo dai campi finiti e dagli interi.^[11]

Alain Connes e Caterina Consani svilupparono le nozioni di Soulé e Deitmar "incollando" la categoria dei monoidi moltiplicativi e la categoria degli anelli per creare una nuova categoria ${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}}$ definendo quindi gli schemi su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ come un particolare tipo di funtore rappresentabile ${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}}$.^[12] Usando questo, riuscirono a fornire una nozione di diverse costruzioni teoriche dei numeri su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ come motivi ed estensioni di campo, oltre a costruire gruppi di Chevalley su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1^{2}}}$. Insieme a Matilde Marcolli, Connes-Consani collegò anche ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ con la geometria non commutativa.^[13] È stato anche suggerito che potrebbero esserci delle connessioni con la congettura unica dei giochi nella teoria della complessità computazionale.^[14]

Lorscheid, insieme ad altri, ha recentemente raggiunto l'obiettivo originale di Tits di descrivere i gruppi Chevalley su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ introducendo oggetti chiamati blueprint, che sono una generalizzazione simultanea di semianelli e monoidi.^[15][16] Questi sono usati per definire i cosiddetti schemi blu, uno dei quali è ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$.^[17] Le idee di Lorscheid si discostano in qualche modo da altre idee di gruppi su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$, in quanto lo schema ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ non è esso stesso il gruppo di Weyl della sua estensione di base agli schemi normali. Lorscheid definisce innanzitutto la categoria Tits, una sottocategoria completa della categoria di schemi blu, e definisce l'estensione di Weyl, un funtore della categoria Tits a Set. Un modello Tits-Weyl di un gruppo algebrico ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ è uno schema blu ${\displaystyle \mathbb {G} }$ con un'operazione di gruppo che è un morfismo nella categoria Tits, la cui estensione di base è ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ e la cui estensione di Weyl è isomorfa al gruppo di Weyl ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

La geometria di ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ è stata collegata alla geometria tropicale, per il fatto che i semianelli, in particolare, i semianelli tropicali, sorgono come quozienti di alcuni semianelli monoidi ${\displaystyle N[\mathbb {A} ]}$ di somme formali finite di elementi di un monoide ${\displaystyle \mathbb {A} }$, che è esso stesso un'algebra ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$. Questa connessione è resa esplicita dall'uso dei progetti da parte di Lorscheid.^[18] I fratelli Giansiracusa hanno costruito una teoria degli schemi tropicali, per la quale la loro categoria di schemi tropicali è equivalente alla categoria degli schemi Toën-Vaquié ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$.^[19] Questa categoria si integra fedelmente, ma non completamente, nella categoria degli schemi blu ed è una sottocategoria completa della categoria degli schemi Durov.

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Si possono definire le estensioni di campo del campo con un elemento come il gruppo di radici dell'unità, o con più dettaglio (con una struttura geometrica) come lo schema di gruppo delle radici dell'unità. Questo, anche se non naturalmente, è isomorfo rispetto al gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle n,}$ con l'isomorfismo che dipende dalla scelta di una radice primitiva di unità:^[20]

${\displaystyle \mathbb {F} _{1^{n}}=\mu _{n}.}$

Quindi uno spazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle d}$ su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1^{n}}}$ risulta essere un insieme finito di ordine ${\displaystyle dn}$ su cui le radici dell'unità agiscono liberamente, insieme a un punto base.

Da questo punto di vista il campo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ è un'algebra su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1^{n}}}$, di dimensione ${\displaystyle d={\frac {q-1}{n}}}$ per qualsiasi ${\displaystyle n}$ che è un fattore di ${\displaystyle q-1}$ (ad esempio ${\displaystyle n=q-1}$ o ${\displaystyle n=1}$). Ciò corrisponde al fatto che il gruppo delle unità di un campo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ (che sono ${\displaystyle q-1}$ elementi diversi da zero) è un gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle q-1}$, sul quale ogni gruppo ciclico di ordine che divide ${\displaystyle q-1}$ agisce liberamente (elevando a potenza), e l'elemento zero del campo è il punto base.

Allo stesso modo, i numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sono un'algebra su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1^{2}}}$, di dimensione infinita, poiché i numeri reali contengono ${\displaystyle \pm 1}$, ma nessuna altra radice dell'unità, e i numeri complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sono un'algebra su ${\displaystyle \mathbb {F} _{1^{n}}}$ per ogni ${\displaystyle n}$, ancora di dimensione infinita, poiché il campo complesso comprende tutte le radici dell'unità.

Da questo punto di vista, qualsiasi fenomeno che dipende solo da un campo che ha radici dell'unità può essere visto come proveniente da ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}.}$ Ad esempio, la trasformata di Fourier discreta (a valori complessi) e l'analoga trasformata in teoria dei numeri (a valori in ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$).

• (EN) James Borger, Λ-rings and the field with one element, 2009, arXiv:math/0906.3146.
• (EN) Alain Connes, Caterina Consani e Matilde Marcolli, Fun with ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$, in Journal of Number Theory, vol. 129, n. 6, anno, pp. 1532–1561, DOI:10.1016/j.jnt.2008.08.007, MR 2521492, Zbl 1228.11143, arXiv:0806.2401.
• (EN) Alain Connes e Caterina Consani, Schemes over ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ and zeta functions, in Compositio Mathematica, vol. 146, n. 6, London Mathematical Society, 2010, pp. 1383-1415, DOI:10.1112/S0010437X09004692, arXiv:0903.2024.
• (EN) Anton Deitmar, Schemes over ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$, in G. van der Geer, B. Moonen e R. Schoof (a cura di), Number Fields and Function Fields: Two Parallel Worlds, Progress in Mathematics, vol. 239, 2005.
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• (EN) Jeffrey Giansiracusa e Noah Giansiracusa, Equations of tropical varieties, in Duke Mathematical Journal, vol. 165, n. 18, 2016, pp. 3379–3433, DOI:10.1215/00127094-3645544, arXiv:math/1308.0042.
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• (EN) Oliver Lorscheid, The geometry of blueprints part II: Tits-Weyl models of algebraic groups, in Forum of Mathematics, Sigma, vol. 6, 2018, arXiv:math/1201.1324.
• (EN) Yuri Manin, Lectures on zeta functions and motives (according to Deninger and Kurokawa), in Astérisque, vol. 228, n. 4, 1995, pp. 121–163.
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• (EN) Alexander Smirnov, Hurwitz inequalities for number fields, in Algebra I Analiz, vol. 4, n. 2, 1992, pp. 186–209.
• (FR) Jacques Tits, Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes, in Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Parigi, Librairie Gauthier-Villars, 1957, pp. 261–289.
• (FR) Bertrand Toën e Michel Vaquié, Au dessous de Spec ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, 2005, arXiv:math/0509684.
• (EN) Alberto Vezzani, Deitmar's versus Toën-Vaquié's schemes over ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$, in Mathematische Zeitschrift, vol. 271, 2010, pp. 1-16, DOI:10.1007/s00209-011-0896-5, arXiv:1005.0287.

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