Cardinale inaccessibile

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In teoria degli insiemi, un numero cardinale ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ si dice inaccessibile se:

• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ non è un cardinale successore (ovvero ${\displaystyle \alpha }$ non è un ordinale successore)
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ è regolare, ovvero data una famiglia di cardinali ${\displaystyle \{K_{i}\}_{i\in I}}$, si ha:

${\displaystyle K_{i}<\aleph _{\alpha },|I|<\aleph _{\alpha }\Rightarrow \sum _{i\in I}K_{i}<\aleph _{\alpha }}$

• ${\displaystyle \beta <\aleph _{\alpha }\rightarrow 2^{\beta }<\aleph _{\alpha }}$

Questi requisiti sono soddisfatti da ${\displaystyle \aleph _{0}}$: l'unione di finiti insiemi finiti è sempre un insieme finito, così come l'insieme potenza di un insieme finito è sempre finito.

Però oltre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ non si conosce nessun cardinale che soddisfi questi requisiti. Anzi, si può dire di più.

Si può infatti dimostrare che se esistesse un qualsiasi cardinale inaccessibile ${\displaystyle K}$ maggiore di ${\displaystyle \aleph _{0}}$, allora ${\displaystyle V_{K}}$ sarebbe un buon modello per la ZF, dove ${\displaystyle V_{i}}$ è l'${\displaystyle i}$-esimo elemento della gerarchia di Von Neumann; dimostrare che un tale cardinale inaccessibile esiste equivarrebbe a dimostrare che esiste un modello per la ZF, ovvero a dimostrare la coerenza di ZF.

D'altronde, il secondo teorema di incompletezza di Gödel stabilisce che la coerenza di ZF non può essere dimostrata all'interno della ZF stessa; da ciò deriva che l'esistenza di un cardinale inaccessibile maggiore di ${\displaystyle \aleph _{0}}$ non è decidibile all'interno della ZF (su cui si basa la costruzione formale di tutta la matematica moderna).

Riassumendo in formule: ${\displaystyle ZF\vdash \left[(V_{\alpha }\vDash ZF)\Leftrightarrow (\exists \alpha {\text{ cardinale inaccessibile}}>\aleph _{0})\right]\Rightarrow ZF\not \vdash (\exists \alpha {\text{ cardinale inaccessibile }}>\aleph _{0})}$

• Cardinale inaccessibile, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cardinale inaccessibile, su MathWorld, Wolfram Research.

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