Chiusura universale

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In logica matematica e più in particolare in una teoria del primo ordine si chiama chiusura universale di una formula ben formata A ( x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(x_{1},...,x_{n})} in cui x 1 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},...,x_{n}} sono variabili libere, la formula

∀ x 1 ∀ x 2 . . . ∀ x n A ( x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle \forall x_{1}\forall x_{2}...\forall x_{n}{\mathcal {A}}(x_{1},...,x_{n})}

ottenuta premettendo un quantificatore universale su ogni variabile libera.

Ad esempio la chiusura universale della formula

( x + y ) + z = x + ( y + z ) {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}

è data dalla formula

∀ x ∀ y ∀ z ( x + y ) + z = x + ( y + z ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall z(x+y)+z=x+(y+z)}

ma la situazione può essere molto più complessa, ad esempio la chiusura universale di

∃ x   ( ∀ y ( x + y = z ) ) → ∀ w ( x + y = w ) {\displaystyle \exists x\ (\forall y(x+y=z))\to \forall w(x+y=w)}

che ha solamente z {\displaystyle z} come variabile libera, è data da

∀ z ∃ x ( ( ( ∀ y ( x + y = z ) ) → ∀ w ( x + y = w ) ) {\displaystyle \forall z\exists x(((\forall y(x+y=z))\to \forall w(x+y=w))}

La chiusura universale trasforma una formula aperta in una formula chiusa.

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