Coordinate ellittiche

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Coordinate ellittiche
Coordinate ellittiche

Le coordinate ellittiche sono coordinate curvilinee ortogonali per lo spazio vettoriale tridimensionale. Esse vengono definite facendo riferimento a due punti localizzati mediante terne coordinate cartesiane come A=(0,0,-a) e B=(0,0,a). Per definirle si fa riferimento alla distanza R = 2a e alle due distanze del generico punto P dai punti A e B che denotiamo rispettivamente con rA e rB. Adottiamo quindi le coordinate

μ := r A + r B R {\displaystyle \mu :={r_{A}+r_{B} \over R}}
ν := r A − r B R {\displaystyle \nu :={r_{A}-r_{B} \over R}}
ϕ {\displaystyle \,\phi } angolo formato dal piano PAB con il piano y = 0

Queste coordinate hanno i seguenti campi di variabilità

1 ≤ μ < + ∞ − 1 ≤ ν ≤ + 1 0 ≤ ϕ < 2 π {\displaystyle 1\leq \mu <+\infty \qquad -1\leq \nu \leq +1\qquad 0\leq \phi <2\pi } .

Le espressioni delle coordinate cartesiane a partire dalle ellittiche sono

x = a ( μ 2 − 1 ) ( 1 − ν 2 ) cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a{\sqrt {(\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}}\cos \phi }
y = a ( μ 2 − 1 ) ( 1 − ν 2 ) sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a{\sqrt {(\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}}\sin \phi }
z = a μ ν {\displaystyle z\,=\,a\mu \nu } .

Le superfici relative a valori fissati di μ sono ellissoidi di rotazione aventi i fuochi in A e B, quelle relative a valori fissati di ν sono iperboloidi di rotazione aventi i fuochi in A e B e le superfici relative a valori fissati di φ sono semipiani definiti dall'asse delle z.

Per il volume infinitesimale si ha

d V = a 3 ( μ 2 − ν 2 ) d μ d ν d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}(\mu ^{2}-\nu ^{2})d\mu \,d\nu \,d\phi } .

Per l'operatore di Laplace

∇ 2 = 1 a 2 ( μ 2 − ν 2 ) ⋅ {\displaystyle \nabla ^{2}={1 \over a^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}\cdot }

{ ∂ ∂ μ [ ( μ 2 − 1 ) ∂ ∂ μ ] + ∂ ∂ ν [ ( 1 − ν 2 ) ∂ ∂ ν ] + μ 2 − ν 2 ( μ 2 − 1 ) ( 1 − ν 2 ) ∂ 2 ∂ ϕ 2 } {\displaystyle \left\{{\partial \over \partial \mu }\left[(\mu ^{2}-1){\partial \over \partial \mu }\right]+{\partial \over \partial \nu }\left[(1-\nu ^{2}){\partial \over \partial \nu }\right]+{\mu ^{2}-\nu ^{2} \over (\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right\}}

Le coordinate ellittiche risultano vantaggiose per lo studio di sistemi fisici che presentano due corpi puntiformi che si mantengono a distanza costante (2a). In particolare esse facilitano la trattazione quantistica dello ione H2+.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Coordinate ellittiche, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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