Voce principale: Pi greco. Sono state date molte dimostrazioni dell'irrazionalità di pi greco, di queste alcune a opera di Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre e Niven.
Dimostrazione di Adrien-Marie Legendre (1794)
Si dimostra che
è irrazionale.
Sia
un intero positivo, definiamo
come
![{\displaystyle f(x):={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}x^{n+k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d695715d5e87bc010443a90ffa78c44a24b6ef16)
dove l'ultimo membro segue dal teorema binomiale. Poiché
è un polinomio di
-esimo grado di
sarà
per ogni
e per ogni intero
Inoltre
per ogni
poiché il minimo esponente con cui compare
in
è
Se
si ha d'altra parte:
![{\displaystyle f^{(m)}(x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=m-n}^{n}{n \choose k}{\frac {(n+k)!}{(n+k-m)!}}(-1)^{k}x^{n+k-m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f39fb34733034d9d97f1b75faa21680629905c)
per cui per ogni
abbiamo che
![{\displaystyle f^{(m)}(0)={\frac {1}{n!}}{{n} \choose {m-n}}m!(-1)^{m-n}\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d88ba578f2f8b01db30aff7a078142551e05d1a)
Queste considerazioni mostrano che
per ogni
Da cui, essendo
abbiamo anche
Supponiamo ora, per assurdo, che esistano due interi positivi
e
tali che
Definiamo
come:
![{\displaystyle F_{n}(x):=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k)}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1944c5612dc2764195b9fa6f49c7152b4a936f)
Per quanto detto prima
e
sono interi. Inoltre, ricordando che
abbiamo:
![{\displaystyle F_{n}^{(2)}(x)+\pi ^{2}F_{n}(x)=b^{n}\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)+\pi ^{2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426415bf982e3a6e69e1ce1ad3d83b0698adc087)
![{\displaystyle =b^{n}\left[-\pi ^{2}\sum _{h=1}^{n+1}(-1)^{h}\pi ^{2(n-h)}f^{(2h)}(x)+\pi ^{2}\sum _{h=0}^{n}(-1)^{h}\pi ^{2(n-h)}f^{(2h)}(x)\right]=b^{n}\pi ^{2(n+1)}f(x)=a^{n}\pi ^{2}f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a439eca3f0106c408dd96a49932537ee3ee6f05a)
Da questi calcoli segue che:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[F_{n}^{(1)}(x)\sin(\pi x)-\pi F_{n}(x)\cos(\pi x)\right]=\pi ^{2}a^{n}f(x)\sin(\pi x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592b744485a2bbf3c759d92b7117cac174ecaa15)
Si ha quindi:
![{\displaystyle \pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx={\frac {1}{\pi }}\left[F_{n}^{(1)}(x)\sin(\pi x)-\pi F_{n}(x)\cos(\pi x)\right]_{0}^{1}=F_{n}(1)+F_{n}(0)\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b771135caffa396b3e67948df141ba01150943)
Poiché per ogni
abbiamo che
otteniamo che
![{\displaystyle 0<f(x)<{\frac {1}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc4dda8c994f070185cbadad767ff06c548add5)
Quindi
![{\displaystyle \pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx\in \left(0,{\frac {\pi a^{n}}{n!}}\right)\cap \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a8b2ea6c9d744fcd9a7200222994ed0f8e31ca)
D'altra parte,
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {\pi a^{n}}{n!}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5669c1a9fd01c73fe287d0bfd085b2ab84b5fd13)
quindi, per
sufficientemente grande,
![{\displaystyle \left(0,{\frac {\pi a^{n}}{n!}}\right)\subset (0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57922fec44d0d90fdb10df6137ebe8f81890f7b9)
Abbiamo quindi trovato che
![{\displaystyle \pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx\in (0,1)\cap \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e3afd4e0d4d5cb229f0155db1d79b2e14980d5)
Ma non esistono interi nell'intervallo
, quindi abbiamo raggiunto un assurdo. Questo mostra che
(e quindi anche
) è irrazionale.
Voci correlate
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