Equazione di Legendre

In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine

( 1 − x 2 ) y ″ − 2 x y ′ + k y = 0 x ∈ ( − 1 , 1 ) . {\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+ky=0\qquad x\in (-1,1).}

Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con p ( x ) = 1 − x 2 {\displaystyle p(x)=1-x^{2}} , q ( x ) = 0 {\displaystyle q(x)=0} e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:

( ( 1 − x 2 ) y ′ ) ′ + k y = 0 {\displaystyle ((1-x^{2})y')'+ky=0}

L'equazione

Nella forma più generale:

( 1 − x 2 ) 2 y ″ − 2 x ( 1 − x 2 ) y ′ + ( ( l 2 + l ) ( 1 − x 2 ) − α 2 ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})-\alpha ^{2})y=0}

oppure:

( 1 − x 2 ) 2 y ″ − 2 x ( 1 − x 2 ) y ′ + ( ( l 2 + l ) ( 1 − x 2 ) + α 2 ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})+\alpha ^{2})y=0}

Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:

y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) {\displaystyle y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)}

dove y 1 ( x ) {\displaystyle y_{1}(x)} e y 2 ( x ) {\displaystyle y_{2}(x)} sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.

L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:

∂ 2 Y ( θ , φ ) ∂ θ 2 + cot ⁡ ( θ ) ∂ Y ( θ , φ ) ∂ θ + 1 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 Y ( θ , φ ) ∂ φ 2 + l ( l + 1 ) Y ( θ , φ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }^{2}}}+\cot(\theta ){\frac {\partial {Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }}}+{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\varphi }^{2}}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0}

con la condizione al contorno:

Y ( θ , φ + 2 π ) = Y ( θ , φ ) {\displaystyle Y(\theta ,\varphi +2\pi )=Y(\theta ,\varphi )}

dove l {\displaystyle l} è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari r , θ , φ {\displaystyle r,\theta ,\varphi } , ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:

Y ( θ , ϕ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) {\displaystyle Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )}

da cui, sostituendo e moltiplicando per sin 2 ⁡ θ Θ Φ {\displaystyle {\frac {\sin ^{2}{\theta }}{\Theta \Phi }}} si ottiene:

sin 2 ⁡ θ Θ ″ Θ + sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) Θ ′ Θ + l ( l + 1 ) sin 2 ⁡ ( θ ) + Φ ″ Φ = 0 {\displaystyle \sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}=0}

dalla quale si vede che deve essere:

sin 2 ⁡ θ Θ ″ Θ + sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) Θ ′ Θ + l ( l + 1 ) sin 2 ⁡ ( θ ) = − Φ ″ Φ = costante {\displaystyle \sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )=-{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}={\text{costante}}}

Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a − α 2 {\displaystyle -\alpha ^{2}} con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in Φ {\displaystyle \Phi } :

Φ ( φ ) = e ± i α φ {\displaystyle \Phi (\varphi )=e^{\pm i\alpha \varphi }}

mentre si vede che la parte in Θ ( θ ) {\displaystyle \Theta (\theta )} deve soddisfare la relazione:

sin 2 ⁡ ( θ ) Θ ″ + sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) Θ ′ + ( l ( l + 1 ) sin 2 ⁡ ( θ ) − α 2 ) Θ = 0 {\displaystyle \sin ^{2}(\theta )\Theta ^{''}+\sin(\theta )\cos(\theta )\Theta ^{'}+{(l(l+1)\sin ^{2}(\theta )-\alpha ^{2})}\Theta =0} .

Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire cos ⁡ ( θ ) = x {\displaystyle \cos(\theta )=x} e si ritrova:

( 1 − x 2 ) 2 d 2 Θ d x 2 − 2 x ( 1 − x 2 ) d Θ d x + ( l ( l + 1 ) ( 1 − x 2 ) − α 2 ) Θ = 0 {\displaystyle (1-x^{2})^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Theta }{\mathrm {d} x^{2}}}-2x(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}+(l(l+1)(1-x^{2})-\alpha ^{2})\Theta =0}

Nella forma:

d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x P ( x ) ] + n ( n + 1 ) P ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0}

è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.

Bibliografia

  • (EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 8 e capitolo 22)
  • (DE) Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (in tedesco, Georg Reimer; Berlino, 1861)
  • (EN) Isaac Todhunter, An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, London, MacMillan, 1875. URL consultato l'11 settembre 2021.
  • (EN) Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them (MacMillan, London, 1877)
  • (EN) William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & co., Boston, 1893)
  • (EN) Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolo 1)
  • (EN) Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolo 15)

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Legendre, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Laplace's Equation--Spherical Coordinates, in MathWorld, Wolfram Research.
  • (EN) Infinite Interior Boundary Value Problem: Waves Propagating in a Cylindrical Pipe, su math.ohio-state.edu. URL consultato il 14 dicembre 2011 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2006).
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