Equazione di Legendre
In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine
Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con , e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:
L'equazione
Nella forma più generale:
oppure:
Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:
dove e sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.
L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:
con la condizione al contorno:
dove è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari , ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:
da cui, sostituendo e moltiplicando per si ottiene:
dalla quale si vede che deve essere:
Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in :
mentre si vede che la parte in deve soddisfare la relazione:
- .
Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire e si ritrova:
Nella forma:
è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.
Bibliografia
- (EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 8 e capitolo 22)
- (DE) Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (in tedesco, Georg Reimer; Berlino, 1861)
- (EN) Isaac Todhunter, An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, London, MacMillan, 1875. URL consultato l'11 settembre 2021.
- (EN) Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them (MacMillan, London, 1877)
- (EN) William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & co., Boston, 1893)
- (EN) Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolo 1)
- (EN) Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolo 15)
Voci correlate
- Armoniche sferiche
- Equazioni di Bessel
- Tavola delle armoniche sferiche
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Legendre, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Eric W. Weisstein, Laplace's Equation--Spherical Coordinates, in MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Infinite Interior Boundary Value Problem: Waves Propagating in a Cylindrical Pipe, su math.ohio-state.edu. URL consultato il 14 dicembre 2011 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2006).
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