Questa voce o sezione sull'argomento geometria non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.
Questa pagina sull'argomento matematica sembra trattare argomenti unificabili alla pagina Contrazione (spazio metrico).
In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.
Più precisamente, se e sono spazi metrici e allora essa si dice non espansiva se
- per ogni in .
Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora è un'isometria.
Teorema
Se è uno spazio normato, un suo sottoinsieme compatto e convesso e è non espansiva, allora ammette punto fisso, cioè esiste un in tale che .
Dimostrazione
Per ogni numero naturale e per un fissato in definiamo , dove è una successione di numeri reali convergente a 1. È
- ,
dunque per ogni naturale è una contrazione; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli ammette un unico punto fisso .
Sia la successione dei punti fissi. Essa è contenuta in , dunque essendo compatto per successioni esiste una sottosuccessione convergente in ad un punto . Allora è
- .
Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su e per la continuità di . Il secondo addendo è
- ,
dunque quando il primo addendo dentro la norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a , cioè .
Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è
- , cioè , cioè .
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica