Identità di Brahmagupta
In matematica, l'identità di Brahmagupta, detta anche identità di Fibonacci, afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali è la somma di due quadrati di numeri naturali, si può esprimere come somma di quadrati (ed in due modi distinti). In altre parole, l'insieme delle somme di due quadrati è chiuso rispetto alla moltiplicazione. In particolare:
Ad esempio,
Questa identità è utilizzata nella dimostrazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. L'identità è valida in qualunque anello commutativo, ma è particolarmente utile nell'insieme dei numeri interi.
Questa identità è un caso speciale (n = 2) dell'identità di Lagrange. Brahmagupta dimostrò ed utilizzò un'identità più generale:
che mostra che l'insieme di tutti i numeri della forma è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
L'identità dei quattro quadrati di Eulero è un'identità analoga con quattro quadrati anziché due. Inoltre, vi è un'identità con otto quadrati, derivata dagli ottonioni, ma non ha implicazioni particolarmente interessanti per i numeri interi perché ogni numero naturale è somma di quattro quadrati (vedi Teorema dei quattro quadrati). Essa è correlata alla periodicità di Bott.
Storia
Quest'identità è stata scoperta dal matematico e astronomo indiano Brahmagupta (598-668), che la generalizzò. La sua opera Brāhmasphuṭasiddhānta fu successivamente tradotta, dal Sanscrito, in arabo da Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, in seguito in persiano, e infine in latino nel 1126.[1] L'identità riapparve nel 1225 all'interno del Liber Quadratorum di Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci (1170-1250). Tuttavia, è possibile che l'identità fosse già nota a Diofanto di Alessandria nel III secolo (Arithmetica - III, 19).
Relazione con i numeri complessi
Se a, b, c e d sono numeri reali, questa identità è equivalente alla proprietà della moltiplicazione dei valori assoluti dei numeri complessi:
dato che
elevando al quadrato entrambi i membri
e ricorrendo alla definizione di valore assoluto,
Applicazione all'equazione di Pell
Nel suo contesto originale, Brahmagupta applicò la sua scoperta alla soluzione dell'equazione di Pell,
Usando l'identità nella forma più generale
osservò che, date due triple (x1, y1, k1) e (x2, y2, k2), soluzioni di x2 − Ny2 = k, allora anche
è una soluzione della medesima equazione.
Questo non permise soltanto di generare infinite soluzioni di x2 − Ny2 = 1 partendo da una sola soluzione, ma anche, dividendo ogni membro per k1k2, di ottenere spesso soluzioni intere o "quasi intere". Il metodo generale per risolvere l'equazione di Pell, ad opera di Bhāskara II nel 1150, chiamato metodo Chakravala, è basato anche su questa identità.[2]
Note
- ^ George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, p. 306. Princeton University Press. ISBN 0691006598.
- ^ John Stillwell, Mathematics and its history, 2ª ed., Springer, 2002, pp. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6.
Collegamenti esterni
- Brahmagupta's identity at PlanetMath
- Fibonacci identity - su MathWorld, su mathworld.wolfram.com.
- Brahmagupta-Fibonacci identity, su pballew.net. URL consultato il 19 gennaio 2011 (archiviato dall'url originale il 14 maggio 2011).
- A Collection of Algebraic Identities, su sites.google.com. URL consultato il 2 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 17 aprile 2018).
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