Integrale di Fermi-Dirac completo

In matematica, l'integrale di Fermi–Dirac completo, intitolato a Enrico Fermi e Paul Dirac, per un indice j è definito da

${\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\,dt,\qquad (j>-1)}$

Questo è uguale a

${\displaystyle -\operatorname {Li} _{j+1}(-e^{x}),}$

dove ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ è il polilogaritmo.

La sua derivata è

${\displaystyle {\frac {dF_{j}(x)}{dx}}=F_{j-1}(x),}$

e questa relazione è usata per definire l'integrale di Fermi-Dirac per indici non positivi j. Notazione diversa per ${\displaystyle F_{j}}$ appare in letteratura, ad esempio alcuni autori omettono il fattore ${\displaystyle 1/\Gamma (j+1)}$. La definizione usata qui corrisponde a quella nel DLMF del NIST.

La forma chiusa della funzione esiste per j = 0:

${\displaystyle F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).}$

• (EN) Izrail Solomonovich Gradshteyn, Iosif Moiseevich Ryzhik e Yuri Veniaminovich Geronimus, 3.411.3., in Zwillinger (a cura di), Table of Integrals, Series, and Products, traduzione di Scripta Technica, Inc., 8ª ed., Academic Press, Inc., 2015 [October 2014], p. 355, ISBN 0-12-384933-0, LCCN 2014010276.
• R.B.Dingle, Fermi-Dirac Integrals, Appl.Sci.Res. B6, 1957, pp. 225–239.

• Integrale di Fermi-Dirac incompleto
• Funzione gamma
• Polilogaritmo

• Biblioteca scientifica GNU - Manuale di riferimento
• Calcolatrice integrale Fermi-Dirac per iPhone / iPad
• Note sugli integrali di Fermi-Dirac
• Sezione in NIST Digital Library of Mathematical Functions
• npplus : pacchetto Python che fornisce (tra gli altri) integrali e inverse Fermi-Dirac per diversi ordini comuni.
• Wolfram's MathWorld : definizione data da Wolfram's MathWorld.

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