Intero algebrico
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In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo: dove i coefficienti sono tutti numeri interi.
Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. La chiusura algebrica dei numeri razionali è formata dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali. L'insieme dei numeri algebrici e l'insieme dei numeri trascendenti formano il campo complesso, cioè
Quindi un intero algebrico è un tipo particolare di numero algebrico. L'insieme degli interi algebrici è della forma
dove indica l'anello dei polinomi formato dall'insieme di polinomi in una o più indeterminate con coefficienti in
L'insieme è un sottoanello del campo complesso.[1]
Esempi
- I numeri interi sono interi algebrici, perché radici del polinomio .
- I numeri razionali non interi non sono interi algebrici: non sono infatti radici di un polinomio monico a coefficienti interi.
- Se è una radice dell'unità, gli interi algebrici contenuti nel campo ciclotomico sono precisamente gli elementi in , ovvero tutti i numeri che possono essere scritti come combinazione lineare di potenze di a coefficienti interi:
Note
- ^ (EN) C. Carstensen-Opitz, B. Fine, A. Moldenhauer, G. Rosenberger, 20. Integral and transcendental extensions, in Abstract Algebra, Berlino, De Gruyter, 2019, DOI:10.1515/9783110603996, ISBN 9783110603996.
Voci correlate
- Numero algebrico
- Intero gaussiano
- Radice dell'unità
Collegamenti esterni
- (EN) algebraic integer, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Intero algebrico, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Intero algebrico, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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