Lemma di Schur

In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle \phi }$ è un morfismo lineare da ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ che commuta con l'azione del gruppo, allora ${\displaystyle \phi }$ è invertibile oppure ${\displaystyle \phi =0}$. Un importante caso particolare è quello in cui ${\displaystyle V=W}$ e quindi ${\displaystyle \phi }$ è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jacques Dixmier.

Se ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ sono due moduli semplici su un anello ${\displaystyle R}$ allora ogni omomorfismo ${\displaystyle f:M\to N}$ di ${\displaystyle R}$-moduli non identicamente nullo è invertibile. In particolare l'anello degli endomorfismi di un modulo semplice è un corpo.

La condizione che ${\displaystyle f}$ è un omomorfismo di moduli significa che

${\displaystyle f(rm)=rf(m)}$ per ogni ${\displaystyle m\in M}$ e ${\displaystyle r\in R.}$

Il lemma di Schur è applicato frequentemente nel caso particolare seguente. Sia ${\displaystyle R}$ un'algebra sul campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dei numeri complessi e sia ${\displaystyle M=N}$ un ${\displaystyle R}$-modulo semplice di dimensione finita su ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Il lemma di Schur dice che l'anello degli endomorfismi del modulo ${\displaystyle M}$ è un corpo; esso contiene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ nel suo centro, è finito-dimensionale su ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e quindi coincide con ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Segue che l'anello degli endomorfismi di ${\displaystyle M}$ è "il più piccolo possibile". Più in generale, questo risultato vale per algebre su ogni campo algebricamente chiuso e per moduli semplici la cui dimensione è al più numerabile. Quando il campo non è algebricamente chiuso, il caso in cui l'anello degli endomorfismi è il più piccolo possibile è particolarmente interessante: un modulo semplice su una ${\displaystyle k}$-algebra si dice assolutamente semplice se il suo anello degli endomorfismi è isomorfo a ${\displaystyle k}$. Questo è in generale più forte che essere irriducibili sul campo ${\displaystyle k}$, ed implica che il modulo è irriducibile anche sulla chiusura algebrica di ${\displaystyle k}$.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo di matrici invertibili complesse. Questo vuol dire che ${\displaystyle G}$ è un insieme di matrici quadrate di ordine ${\displaystyle n}$ con elementi complessi, e ${\displaystyle G}$ è chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione di matrici e inversione. Si supponga inoltre che ${\displaystyle G}$ sia irriducibile: non esistono sottospazi ${\displaystyle V}$ oltre a ${\displaystyle 0}$ e lo spazio intero che siano invarianti sotto l'azione di ${\displaystyle G}$. In altre parole,

${\displaystyle {\text{se }}gV\subseteq V{\text{ per ogni }}g{\text{ appartenente a }}G,{\text{ allora o }}V=0{\text{ oppure }}V=\mathbb {C} ^{n}.}$

Il lemma di Schur, nel caso speciale di una rappresentazione singola, diventa: se ${\displaystyle A}$ è una matrice complessa di ordine ${\displaystyle n}$ che commuta con tutte le matrici in ${\displaystyle G}$, allora ${\displaystyle A}$ è una matrice scalare. Un semplice corollario è che ogni rappresentazione complessa irriducibile di un gruppo abeliano è di dimensione ${\displaystyle 1}$.

La versione nel linguaggio dei gruppi è un caso particolare della versione nel linguaggio dei moduli: una rappresentazione di un gruppo ${\displaystyle G}$ è un modulo sull'algebra gruppale di ${\displaystyle G}$.

Siano ${\displaystyle G}$ un gruppo, ${\displaystyle p:G\to GL(V)}$ e ${\displaystyle q:G\to GL(W)}$ due rappresentazioni irriducibili di ${\displaystyle G}$ su un campo fissato ${\displaystyle K}$ e sia ${\displaystyle T:V\to W}$ un'applicazione lineare ${\displaystyle G}$-invariante, cioè tale che ${\displaystyle T(p(g)(v))=q(g)(T(v))}$ per ogni ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle g\in G}$. Allora:

1. ${\displaystyle T=0}$ oppure ${\displaystyle T}$ è un isomorfismo;
2. se ${\displaystyle V=W}$ e ${\displaystyle p=q}$ e se ${\displaystyle K}$ è algebricamente chiuso allora ${\displaystyle T}$ è la moltiplicazione per uno scalare.

1. Poiché ${\displaystyle T}$ è ${\displaystyle G}$-invariante, ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)}$ e ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)}$ sono sottospazi G-invarianti. Si ha che, poiché ${\displaystyle p}$ è irriducibile, o ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)=0}$ o ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)=V}$. Se ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)=V}$ allora ${\displaystyle T=0}$. Se ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)=0}$ allora ${\displaystyle T}$ è iniettiva. Poiché ${\displaystyle q}$ è irriducibile segue ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=W}$ e dunque ${\displaystyle T}$ è suriettiva. Perciò ${\displaystyle T}$ è un isomorfismo.
2. ${\displaystyle T\colon V\to V}$ è un operatore lineare; sia ${\displaystyle \lambda \in K}$ un suo autovalore (esiste perché ${\displaystyle K}$ è algebricamente chiuso): allora ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T-\lambda I)\neq 0}$, in quanto contiene almeno un autovettore. L'operatore lineare ${\displaystyle S:=T-\lambda I}$ è anch'esso ${\displaystyle G}$-invariante. Poiché ${\displaystyle \operatorname {Ker} S\neq 0}$ e ${\displaystyle p}$ è irriducibile si ha che ${\displaystyle \operatorname {Ker} S=V}$ e quindi ${\displaystyle S=0}$. Perciò ${\displaystyle T-\lambda I=0}$ e quindi ${\displaystyle T=\lambda I}$. Ovvero ${\displaystyle T}$ è la moltiplicazione per uno scalare.

• David S. Dummit e Richard M. Foote, Abstract Algebra, 2ª ed., p. 337.
• Tsit-Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Berlino e New York, Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0.

• Rappresentazione dei gruppi
• Rappresentazioni dei gruppi di Lie
• Teoria dei caratteri

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