Lemma di Schur
In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se e sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo e è un morfismo lineare da a che commuta con l'azione del gruppo, allora è invertibile oppure . Un importante caso particolare è quello in cui e quindi è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jacques Dixmier.
Formulazione nel linguaggio dei moduli
Se e sono due moduli semplici su un anello allora ogni omomorfismo di -moduli non identicamente nullo è invertibile. In particolare l'anello degli endomorfismi di un modulo semplice è un corpo.
La condizione che è un omomorfismo di moduli significa che
- per ogni e
Il lemma di Schur è applicato frequentemente nel caso particolare seguente. Sia un'algebra sul campo dei numeri complessi e sia un -modulo semplice di dimensione finita su . Il lemma di Schur dice che l'anello degli endomorfismi del modulo è un corpo; esso contiene nel suo centro, è finito-dimensionale su e quindi coincide con . Segue che l'anello degli endomorfismi di è "il più piccolo possibile". Più in generale, questo risultato vale per algebre su ogni campo algebricamente chiuso e per moduli semplici la cui dimensione è al più numerabile. Quando il campo non è algebricamente chiuso, il caso in cui l'anello degli endomorfismi è il più piccolo possibile è particolarmente interessante: un modulo semplice su una -algebra si dice assolutamente semplice se il suo anello degli endomorfismi è isomorfo a . Questo è in generale più forte che essere irriducibili sul campo , ed implica che il modulo è irriducibile anche sulla chiusura algebrica di .
Formulazione nel linguaggio delle matrici
Sia un gruppo di matrici invertibili complesse. Questo vuol dire che è un insieme di matrici quadrate di ordine con elementi complessi, e è chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione di matrici e inversione. Si supponga inoltre che sia irriducibile: non esistono sottospazi oltre a e lo spazio intero che siano invarianti sotto l'azione di . In altre parole,
Il lemma di Schur, nel caso speciale di una rappresentazione singola, diventa: se è una matrice complessa di ordine che commuta con tutte le matrici in , allora è una matrice scalare. Un semplice corollario è che ogni rappresentazione complessa irriducibile di un gruppo abeliano è di dimensione .
Formulazione nel linguaggio delle rappresentazioni dei gruppi
La versione nel linguaggio dei gruppi è un caso particolare della versione nel linguaggio dei moduli: una rappresentazione di un gruppo è un modulo sull'algebra gruppale di .
Siano un gruppo, e due rappresentazioni irriducibili di su un campo fissato e sia un'applicazione lineare -invariante, cioè tale che per ogni , . Allora:
- oppure è un isomorfismo;
- se e e se è algebricamente chiuso allora è la moltiplicazione per uno scalare.
Dimostrazione
- Poiché è -invariante, e sono sottospazi G-invarianti. Si ha che, poiché è irriducibile, o o . Se allora . Se allora è iniettiva. Poiché è irriducibile segue e dunque è suriettiva. Perciò è un isomorfismo.
- è un operatore lineare; sia un suo autovalore (esiste perché è algebricamente chiuso): allora , in quanto contiene almeno un autovettore. L'operatore lineare è anch'esso -invariante. Poiché e è irriducibile si ha che e quindi . Perciò e quindi . Ovvero è la moltiplicazione per uno scalare.
Bibliografia
- David S. Dummit e Richard M. Foote, Abstract Algebra, 2ª ed., p. 337.
- Tsit-Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Berlino e New York, Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0.
Voci correlate
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)