Linearità (matematica)

In matematica, la linearità è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di proporzionalità diretta.

Ad esempio, la legge ${\displaystyle A=2B}$ correla linearmente ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$: se ${\displaystyle B}$ raddoppia, anche ${\displaystyle A}$ raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

In algebra, n vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}}$ appartenenti a uno spazio vettoriale definito sul corpo ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ sono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione del tipo:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$

dove ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in {\mathcal {K}}}$ non sono tutti nulli.^[1] Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per ${\displaystyle a_{1}=\ldots =a_{n}=0}$ i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ può essere scritto nel modo seguente:

${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$

allora ${\displaystyle \mathbf {v} }$ è una combinazione lineare dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}}$. In particolare, lo spazio ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n})}$ delle combinazioni lineari dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}}$ prende il nome di sottospazio generato da tali vettori, ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ è combinazione lineare di ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ se e solo se i vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} }$ sono linearmente dipendenti.

Un'applicazione ${\displaystyle f:V\to W}$ definita da un ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ a un ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-spazio ${\displaystyle W}$ è lineare se, per ogni coppia di elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ appartenenti a ${\displaystyle V}$ su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle \mu }$ per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

${\displaystyle f(\lambda x+\mu y)\,=\lambda f(x)\,+\mu f(y)}$

In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa struttura è detto omomorfismo. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di omomorfismo di gruppi, di anelli, di spazi vettoriali e di algebre.

Una funzione in ${\displaystyle n}$ variabili ${\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\to W}$ (dove i ${\displaystyle V_{i}}$ sono ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V_{1}\times \ldots \times V_{n}}$

${\displaystyle f(a_{1}x_{1},\ldots ,a_{n}x_{n})=a_{1}\ldots a_{n}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\qquad \forall a_{1},\ldots a_{n}\in {\mathcal {K}}}$

è detta multilineare. Ad esempio, il prodotto scalare euclideo è una forma bilineare.

Un'equazione algebrica in n incognite ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ si dice lineare se è della forma:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}-b=0}$

dove i coefficienti (costanti) ${\displaystyle a_{i}}$ non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}}$ è lineare se esistono un vettore ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\cdots ,a_{n})^{T}\in {\mathcal {K}}^{n}}$, dove ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ è un campo, e un elemento ${\displaystyle b\in {\mathcal {K}}}$ per cui si può scrivere:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =b}$

Il simbolo ${\displaystyle \cdot }$ denota il prodotto scalare ordinario definito sullo spazio ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$.

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo razionale se sono razionali i coefficienti ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},b}$, o nel campo reale se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a parametro tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve. Ad esempio, se ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$ l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{a_{1}}}\left(a_{2}t_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}+b\right)\\x_{2}=t_{2}\\\vdots \\x_{n}=t_{n}\end{cases}}}$

dove si sono definiti i parametri liberi ${\displaystyle t_{i}=x_{i}}$.

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di m equazioni lineari, ciascuna nelle n incognite ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una matrice ${\displaystyle A}$ di dimensione ${\displaystyle m\times n}$, il cui elemento ${\displaystyle a_{ij}}$ rappresenta il coefficiente dell'i-esima equazione nella j-esima incognita. Se allora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ è l'n-vettore che ha per componenti le incognite, e ${\displaystyle \mathbf {b} }$ è l'm-vettore dei termini noti, l'intero sistema si può scrivere:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

che equivale a:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.}$

Un sistema del genere può essere impossibile se non ammette soluzioni, determinato se ammette una e una sola soluzione e indeterminato se ammette più di una soluzione. Se il campo ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ in cui si stanno cercando le incognite ha cardinalità infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio affine di ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. Più precisamente:

${\displaystyle \mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {b} )=\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )+\mathbf {b} }$

in particolare, lo spazio ${\displaystyle \mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )}$ delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} {\mbox{ e }}A\mathbf {y} =\mathbf {0} \ \Rightarrow A(\lambda \mathbf {x} +\mu \mathbf {y} )=\mathbf {0} \qquad \forall \lambda ,\mu \in {\mathcal {K}}}$

Esiste un teorema che mette in relazione il rango della matrice ${\displaystyle A}$ con la risolubilità del sistema.

Un'equazione differenziale ordinaria è lineare se è della forma:

${\displaystyle a_{n}(x)y^{(n)}(x)+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }(x)+a_{0}(x)y(x)=f(x)}$

con qualche ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$.

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di ${\displaystyle y}$ compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

${\displaystyle {\mathfrak {L}}:y\mapsto a_{n}(x)y^{(n)}+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y}$

è lineare, cioè se ${\displaystyle y_{1}}$ è soluzione di ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)}$ e ${\displaystyle y_{2}}$ è soluzione di ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(y)=f_{2}(x)}$ allora ${\displaystyle (y_{1}+y_{2})}$ è soluzione di ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}$. In altri termini, vale la relazione:

${\displaystyle {\mathfrak {L}}(ay_{1}+by_{2})=a{\mathfrak {L}}(y_{1})+b{\mathfrak {L}}(y_{2})\quad \forall a,b\in \mathbb {R} }$

La rappresentazione cartesiana di un'equazione lineare in n incognite è un iperpiano n-1-dimensionale immerso nell'n-spazio. Ad esempio, l'equazione:

${\displaystyle 3x+8y-2=0}$

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

${\displaystyle x+2y-z+1=0}$

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in forma implicita, laddove le corrispettive forme esplicite sarebbero:

${\displaystyle y=-{\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}}$

rispetto alla coordinata y, e:

${\displaystyle z=x+2y+1}$

rispetto alla coordinata z.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

• Equazione differenziale lineare
• Funzione lineare
• Trasformazione lineare
• Sistema di equazioni lineari