Misura a valori di proiettore

In matematica, in particolare in analisi funzionale, una misura a valori di proiettore è una funzione definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.

Le misure a valori di proiettore sono usate per esprimere i risultati della teoria spettrale, come il teorema spettrale per operatori autoaggiunti.

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un sottoinsieme chiuso di ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Si definisce misura a valori di proiettore un insieme di proiezioni ortogonali ${\displaystyle \{P_{\Omega }\}}$ che soddisfa le proprietà:^[1]

• ${\displaystyle P_{\emptyset }=0}$ e ${\displaystyle P_{(-a,a)}=I}$ per qualche ${\displaystyle a}$.

• Sia ${\displaystyle \Omega }$ una famiglia di insiemi tale che:

${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }\Omega _{i}\qquad \Omega _{i}\cap \Omega _{j}=\emptyset \quad i\neq j}$

allora si ha:

${\displaystyle P_{\Omega }=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}P_{\Omega _{i}}}$

dove il limite è in senso forte.

Si tratta di una misura limitata, e dalla definizione segue l'ulteriore proprietà:

${\displaystyle P_{\Omega _{1}}P_{\Omega _{2}}=P_{\Omega _{1}\cap \Omega _{2}}\ }$

Se si considera uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ sul quale è definita una sigma-algebra di Borel ${\displaystyle M}$, una misura a valori di proiettore è una funzione ${\displaystyle P_{\Omega }}$ definita su ${\displaystyle M}$ ed a valori nello spazio dei proiettori ortogonali definiti su uno spazio di Hilbert di dimensione finita ${\displaystyle H}$. In tal caso gli insiemi ${\displaystyle \{\Omega _{i}\}}$ utilizzati nella definizione sono gli elementi della sigma-algebra di Borel ${\displaystyle M}$, e si ha ${\displaystyle P_{X}=I}$.

Ad esempio, si consideri lo spazio di Hilbert ${\displaystyle H=L^{2}(X,\mu )}$, dove ${\displaystyle \mu }$ è una misura di Borel. Si può definire una misura a valori di proiettore nel seguente modo:

${\displaystyle (P_{E}\psi )(x)=\chi _{E}(x)\psi (x)\qquad \forall \psi \in L^{2}(X,\mu )\quad \forall E\in M}$

per quasi ogni ${\displaystyle x}$.

Sia data una famiglia di insiemi misurabili mutuamente disgiunti ${\displaystyle E_{i}}$ ed una funzione semplice:

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\chi _{E_{i}}\quad a_{i}\in \mathbb {C} }$

dove ${\displaystyle \chi _{E_{i}}}$ è la funzione indicatrice relativa all'insieme ${\displaystyle E_{i}}$ per ogni i ed i numeri ${\displaystyle a_{i}}$ sono disgiunti.

Si può definire l'integrale di ${\displaystyle s}$ rispetto ad una misura a valori di proiettore ${\displaystyle P}$ nel seguente modo:

${\displaystyle \int _{X}sdP:=\sum _{i=1}^{n}a_{i}P(E_{i})}$

Si dimostra che l'estensione di tale operatore integrale dallo spazio delle funzioni semplici allo spazio di Banach delle funzioni ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ limitate e misurabili rispetto alla sigma algebra di Borel ${\displaystyle M}$ è unica. Si definisce in questo modo l'operatore integrale positivo:

${\displaystyle \int _{E}f(x)dP(x):=\int _{X}\chi _{E}f(x)dP(x)\quad E\in M}$

rispetto alla misura a valori di proiettore ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle P_{E}=\int _{X}\chi _{E}dP(x)\ }$

Detto inoltre ${\displaystyle {\mbox{supp}}(P)}$ il supporto di ${\displaystyle P}$, si dimostra che:

${\displaystyle \int _{X}f(x)dP(x)=\int _{{\mbox{supp}}(P)}f(x)dP(x)\ }$

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico sul quale è definita una sigma-algebra di Borel ${\displaystyle M}$, sia ${\displaystyle H}$ uno spazio di Hilbert e ${\displaystyle P}$ una misura a valori di proiettore. Per ogni ${\displaystyle \phi ,\psi \in H}$ il prodotto interno:

${\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }(E):=(\phi ,P_{E}\psi )=\left(\phi ,\int _{X}\chi _{E}dP(x)\psi \right)\quad E\in M}$

rappresenta una misura di Borel complessa. In particolare, la misura ${\displaystyle \mu _{\phi }:=\mu _{\phi ,\phi }}$ viene detta misura spettrale associata a ${\displaystyle \phi }$.

Attraverso una misura del tipo di ${\displaystyle \mu _{\phi }}$ si può definire l'operatore di integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore anche nel caso in cui ${\displaystyle f}$ non sia limitata, a patto di utilizzare l'insieme:

${\displaystyle \Delta _{f}:=\{\phi \in H:\int _{X}|f(x)|^{2}d\mu _{\phi }(x)<+\infty \}}$

come dominio dell'applicazione:

${\displaystyle \int _{X}f(x)dP(x):\phi \to \int _{X}f(x)dP(x)\phi =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}(x)dP(x)\phi }$

che definisce in questo modo un operatore lineare chiuso e limitato, che è l'integrale di ${\displaystyle f}$ rispetto a ${\displaystyle P}$. L'insieme ${\displaystyle \Delta _{f}}$ è un sottospazio denso in ${\displaystyle H}$, ed il secondo membro è caratterizzato dal fatto che la funzione ${\displaystyle f}$ può essere vista come il limite di una successione ${\displaystyle f_{n}}$ di funzioni misurabili e limitate convergente nella norma di ${\displaystyle L^{2}(X,\mu _{\phi })}$.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione definita sul supporto di ${\displaystyle P}$ tale che sia inoltre limitata e misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel. Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico operatore:

${\displaystyle B:=\int f(\lambda )dP_{\lambda }\ }$

che soddisfa la relazione:

${\displaystyle (\phi ,B\phi )=\int f(\lambda )d\mu _{\phi }=\int f(\lambda )d(\phi ,P_{\lambda }\phi )\quad \forall \phi \in H}$

dove ${\displaystyle d\mu _{\phi }=d(\phi ,P_{\lambda }\phi )}$ denota l'integrazione rispetto alla misura ${\displaystyle \mu _{\phi }=(\phi ,P\phi )}$.

Sia ${\displaystyle A}$ un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore ${\displaystyle P^{A}}$ tale per cui:

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$

dove ${\displaystyle \sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})}$ è lo spettro di ${\displaystyle A}$. Si dice che ${\displaystyle P^{A}}$ è la misura a valori di proiettore associata ad ${\displaystyle A}$.

In particolare, se ${\displaystyle A}$ è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

${\displaystyle P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)\ }$

definita sullo spettro ${\displaystyle \sigma (A)}$ di ${\displaystyle A}$. Tale misura può essere univocamente associata ad ${\displaystyle A}$ nel seguente modo:

${\displaystyle (\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H}$

per ogni funzione misurabile limitata ${\displaystyle f}$, e in tal caso si ha:

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}}$

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di ${\displaystyle A}$.^[2]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) ${\displaystyle A}$ a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare ${\displaystyle A}$ tramite una misura a valori di proiettore limitata ${\displaystyle P^{A}}$ allora ${\displaystyle P^{A}}$ è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad ${\displaystyle A}$. Ogni operatore limitato autoaggiunto ${\displaystyle A}$ può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata ${\displaystyle P^{A}}$.

Si consideri un operatore autoaggiunto ${\displaystyle A}$ non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley ${\displaystyle U(A)}$ associata ad ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle U(A)=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\qquad A=\mathbf {i} (I+U(A))(I-U(A))^{-1}}$

è possibile definire, a partire da ${\displaystyle A}$, una misura a valori di proiettore ${\displaystyle P^{U(A)}}$ nel modo seguente:

${\displaystyle P^{A}(\Omega ):=P^{U(A)}(U(\Omega ))\qquad \Omega \subset \sigma (A)}$

L'insieme ${\displaystyle \Omega }$ è un borelliano contenuto nello spettro (reale) ${\displaystyle \sigma (A)}$ di ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle U(\Omega )}$ è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Si dimostra che se la funzione identità, definita su ${\displaystyle \sigma (A)}$, è di classe ${\displaystyle L^{2}}$ rispetto alla misura ${\displaystyle (x,P^{A}(\Omega )x)}$, allora ${\displaystyle P^{U(A)}}$ definisce una misura a valori di proiettore su ${\displaystyle \sigma (A)}$.

In particolare, è possibile scrivere:

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda )}$

Anche nel caso di ${\displaystyle A}$ non limitato la corrispondenza tra ${\displaystyle A}$ ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

Le proiezioni spettrali sono uno strumento che permette di caratterizzare le proprietà dello spettro ${\displaystyle \sigma (A)}$ di un operatore autoaggiunto ${\displaystyle A}$. In primo luogo si dimostra che un numero ${\displaystyle \lambda }$ appartiene a ${\displaystyle \sigma (A)}$ se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ è soddisfatta la seguente condizione:^[3]

${\displaystyle P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)\neq 0}$

Un tale approccio permette inoltre di suddividere lo spettro in due sottoinsiemi:

• Lo spettro essenziale di ${\displaystyle A}$ è l'insieme ${\displaystyle \sigma _{ess}(A)}$ dei numeri ${\displaystyle \lambda }$ tali per cui per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ il rango di ${\displaystyle P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)}$ ha dimensione infinita. Si dimostra che tale insieme è chiuso. In modo equivalente, ${\displaystyle \lambda }$ appartiene a ${\displaystyle \sigma _{ess}(A)}$ se e solo se è un autovalore che ha molteplicità infinita.

• Si definisce spettro discreto di ${\displaystyle A}$ l'insieme ${\displaystyle \sigma _{disc}(A)}$ dei numeri ${\displaystyle \lambda }$ tali per cui per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ il rango di ${\displaystyle P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)}$ ha dimensione finita. In modo equivalente, ${\displaystyle \lambda }$ appartiene a ${\displaystyle \sigma _{disc}(A)}$ se e solo se è un punto isolato di ${\displaystyle \sigma (A)}$ ed è un autovalore che ha molteplicità finita.

Se ${\displaystyle \pi }$ è una misura a valori di proiettore su ${\displaystyle (X,M)}$, allora la mappa:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\mapsto \pi (A)}$

estende a mappa lineare su uno spazio vettoriale di funzioni gradino su ${\displaystyle X}$.

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
• (EN) G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, [1], American Mathematical Society, 2009.
• (EN) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

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• Proiezione ortogonale
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