Nucleo di Dirichlet

In analisi matematica, il nucleo di Dirichlet è la famiglia di polinomi trigonometrici definita da

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$

È così chiamata in onore di Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Il nucleo di Dirichlet trova ampia applicazione nella teoria delle serie di Fourier. La convoluzione di D_n(x) con qualsiasi funzione ƒ di periodo ${\displaystyle 2\pi }$ è pari all' approssimazione in serie di Fourier di ƒ troncata all' n-esimo termine, cioè si ha

${\displaystyle (D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$

dove

${\displaystyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx}$

è il k-esimo coefficiente di Fourier di ƒ.

Questo fatto può essere utile nello studio della convergenza puntuale dello sviluppo di Fourier di una funzione periodica. Infatti posto ${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}}$ si ha, usando il risultato precedente,

${\displaystyle S_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y+x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy.}$

Tale espressione vale in particolare anche per la funzione costante ${\displaystyle f(x)=1}$ per la quale tutti i coefficienti della serie di Fourier sono nulli tranne quello per cui ${\displaystyle k=0}$ che vale ${\displaystyle 1}$. Si vede quindi che per tale funzione costante vale

${\displaystyle S_{n}(x)=1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy.}$

(Ciò è facilmente verificabile anche integrando termine a termine la serie trigonometrica che definisce il nucleo di Diriclet).

Se ora vogliamo verificare le condizioni per cui la serie di Fourier di f converga puntualmente in un punto ${\displaystyle x}$ dobbiamo studiare il comportamento del resto n-esimo

${\displaystyle |S_{n}(x)-f(x)|={\frac {1}{2\pi }}{\biggl \vert }\int _{-\pi }^{\pi }f(y+x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy-f(x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy{\biggl \vert },}$

ossia

${\displaystyle \vert S_{n}(x)-f(x)\vert ={\frac {1}{2\pi }}{\biggl \vert }\int _{-\pi }^{\pi }(f(y+x)-f(x)){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy{\biggl \vert }.}$

Grazie al lemma di Riemann-Lebesgue sappiamo che una condizione sufficiente affinché il resto n-esimo si annulli per ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ è che ${\displaystyle {\frac {f(x+y)-f(y)}{\sin({\frac {y}{2}})}}}$ sia integrabile in ${\displaystyle [-\pi ,+\pi ]}$. A partire da questo risultato si può dimostrare facilmente la condizione di convergenza del Dini per le serie di Fourier^[1].

Si può definire la distribuzione delta di Dirac periodica in modo tale che si abbia

${\displaystyle f*(2\pi \delta )=f}$

per ogni funzione ƒ di periodo ${\displaystyle 2\pi }$. La rappresentazione in serie di Fourier di questa funzione generalizzata è

${\displaystyle 2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}$

Per cui il nucleo di Dirichlet può essere visto come un'approssimazione di tale distribuzione.

L'identità trigonometrica

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$

può essere dimostrata nel modo seguente. Ricordando che la somma di una progressione geometrica è

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$

Abbiamo in particolare che

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$

Moltiplicando sia numeratore che denominatore per r^−1/2 abbiamo

${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$

Ora se r = e^ix troviamo

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$

che era quello che volevamo dimostrare.

• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X0-13-458886-X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))
• Podkorytov, A. N. (1988), "Asymptotic behavior of the Dirichlet kernel of Fourier sums with respect to a polygon". Journal of Soviet Mathematics, 42(2): 1640–1646. doi: 10.1007/BF01665052
• Levi, H. (1974), "A geometric construction of the Dirichlet kernel". Transactions of the New York Academy of Sciences, 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
• http://planetmath.org/encyclopedia/DirichletKernel.html^{[collegamento interrotto]} PlanetMath^{[collegamento interrotto]}

• (EN) Dirichlet kernel, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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