Numero complesso iperbolico
In matematica, i numeri complessi iperbolici (o numeri complessi spezzati) sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento non reale, usualmente indicato con il simbolo , e detto unità immaginaria iperbolica, il cui quadrato è uguale a . I numeri complessi iperbolici presentano numerose analogie con gli ordinari numeri complessi; a differenza di questi, però, non costituiscono un campo, ma solamente un anello.
I numeri complessi iperbolici furono introdotti nel 1848 da James Cockle, e utilizzati da William Clifford per rappresentare la somma di rotazioni. A partire dal XX secolo sono stati utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz all'interno della relatività ristretta.
Algebra dei complessi iperbolici
Un numero complesso iperbolico può essere espresso nella forma:
- ,
dove e sono numeri reali, e vale la relazione:
- .
Sui numeri complessi è possibile eseguire le normali operazioni algebriche, considerando come una variabile, e avendo cura di eseguire la sostituzione (o, più in generale, per ogni potenza pari dell'unità immaginaria iperbolica, e per ogni potenza dispari). È quindi possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri complessi iperbolici e :
L'inverso moltiplicativo del numero è:
- ,
ed è definito solamente se , per cui i numeri complessi iperbolici non formano un campo.
I complessi iperbolici come anello quoziente
È possibile definire i numeri iperbolici come gli elementi dell'anello quoziente
- ,
dove è l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali, e in è l'ideale generato dal polinomio . Questo ideale non è massimale, perché è contenuto nei due ideali e , pertanto l'anello dei numeri complessi iperbolici non è un campo. Inoltre, le operazioni di somma e prodotto sono continue rispetto all'usuale topologia del piano, per cui l'anello è anche un anello topologico.
Definendo l'operazione di prodotto per uno scalare :
- ,
i numeri complessi iperbolici formano una algebra associativa e commutativa dotata di unità, di dimensione . Questa algebra è anche un'algebra di Clifford, dotata di una forma quadratica definita positiva.
Metrica
I numeri iperbolici complessi possono essere rappresentati sul piano reale, analogamente agli usuali numeri complessi; questo piano tuttavia non possiede la metrica euclidea: definiamo il coniugato del numero come . Il modulo di un numero complesso iperbolico è allora definito come:
- .
La metrica così definita ha segnatura e dota i numeri complessi iperbolici della struttura di spazio di Minkowski, ed è conservata dalla moltiplicazione:
- .
È anche possibile definire un equivalente della formula di Eulero:
- .
I numeri della forma hanno modulo uguale a secondo la metrica appena definita, e giacciono sull'iperbole equilatera di equazione:
- .
Questa iperbole svolge sul piano iperbolico un ruolo analogo a quello della circonferenza unitaria sul piano complesso. La moltiplicazione per conserva la norma, e corrisponde ad una rotazione iperbolica, ovvero ad una trasformazione di Lorentz.
È anche possibile definire il prodotto scalare come:
- .
Rappresentazione matriciale
Le proprietà algebriche dell'unita immaginaria sono esprimibili dalla matrice:
In generale, il numero complesso iperbolico è rappresentato dalla matrice
Le usuali operazioni di somma e moltiplicazione tra matrici coincidono con la somma e il prodotto definiti sopra. L'operazione di coniugazione corrisponde alla moltiplicazione da ambo i lati per la matrice:
- .
La rotazione iperbolica corrisponde alla moltiplicazione per la matrice:
La base diagonale
L'unità reale e quella immaginaria costituiscono una base per il piano complesso iperbolico; è possibile tuttavia utilizzare altre basi mediante opportuni cambi di coordinate. Una base particolarmente utilizzata è quella costituita dai due elementi idempotenti non banali:
La base formata da ed è detta base diagonale o base nulla, in quanto i suoi componenti hanno modulo nullo. La trasformazione delle coordinate da una base all'altra è data dalla seguente formula:
- .
Alcune operazioni tra numeri complessi iperbolici hanno una espressione molto più semplice nella base diagonale; dati i numeri e valgono le seguenti:
- moltiplicazione: ;
- coniugazione: ;
- modulo: .
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Introduction to Algebraic Motors, su ca.geocities.com (archiviato dall'url originale l'11 agosto 2006)., introduzione ai motori algebrici
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)