Piccolo dodecaedro troncato stellato

Piccolo dodecaedro troncato stellato
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	12 pentagoni 12 decagrammi
Nº facce	24
Nº spigoli	90
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-6
Incidenza dei vertici	5.10/3.10/3
Notazione di Wythoff	2 5 | 5/3 2 5/4 | 5/3
Notazione di Schläfli	t{5/3,5}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande pentacisdodecaedro
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il piccolo dodecaedro troncato stellato è un poliedro stellato uniforme avente 24 facce - 12 pentagonali e 12 a forma di decagramma - 90 spigoli e 60 vertici.^[1]

Le coordinate cartesiane per i vertici del piccolo dodecaedro troncato stellato sono date da tutte le permutazioni di:

${\displaystyle \left(\,\pm \varphi ,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (2-\varphi )\,\right)}$

e da tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (3-\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm (\varphi -1),\,\pm (\varphi -1)\,\right)}$

dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea.

Il piccolo dodecaedro troncato stellato, spesso indicato con il simbolo U₅₈, ha la stessa disposizione di vertici del rombicosidodecaedro, suo inviluppo convesso, del piccolo dodecicosidodecaedro, del piccolo rombidodecaedro e di due poliedri composti uniformi, ossia il composto di sei prismi petagrammici e il composto di dodici prismi petagrammici.

Rombicosidodecaedro	Piccolo dodecicosidodecaedro	Piccolo rombidodecaedro
Piccolo dodecaedro troncato stellato	Composto di sei prismi petagrammici	Composto di dodici prismi petagrammici

Grande pentacisdodecaedro
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Triangoli isosceli
Nº facce	60
Nº spigoli	90
Nº vertici	24
Caratteristica di Eulero	-6
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo dodecaedro troncato stellato
Manuale

Il grande pentacisdodecaedro è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del piccolo dodecaedro troncato stellato, avente per facce 60 triangoli isosceli.^[2] Dato un piccolo dodecaedro troncato stellato di spigolo pari a 1, immaginando il grande pentacisdodecaedro come composto da 60 facce intersecanti a forma di triangolo isoscele, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno una coppia di angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}})\approx 86,974\,155\,491\,04^{\circ }}$ e l'angolo al vertice di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{10}}+{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}})\approx 6,051\,689\,017\,91^{\circ }}$, con la base di lunghezza pari a ${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{2}}\approx 0,85410}$ e i due lati uguali di lunghezza pari a ${\displaystyle 5{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 8,09017}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Piccolo dodecaedro troncato stellato, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Grande pentacisdodecaedro, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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